03) Considere um circuito RC onde a força eletromotriz é uma constante E = 12 , a capacitância é dada por C = cos ⁡ t + 2 e a resistência é dada por R = s e n t + 2 t + 1 . Temos que as quedas de tensão no capacitor e na resistência são dadas, respectivamente, por C q ( t ) e R q ' ( t ) , onde q ( t ) é a carga no capacitor. A segunda lei de Kirchoff diz que a soma das quedas de tensão num circuito é igual à força eletromotriz.

a) Mostre que a carga q ( t ) satisfaz uma equação da forma q ' t + p t q t = g ( t ) .

b) Encontre uma primitiva P ( t ) de p ( t ) e determine e P t e também e - P t .

c) Obtenha a solução geral q ( t ) da equação determinada no primeiro item.

d) Determine a solução com carga inicial q 0 = q 0 . Mostre que lim t → ∞ ⁡ q ( t ) = 6 , mostrando que esse limite não depende da carga inicial q 0 .

Passo 1

Oii gente, tudo bem?

a) Nessa questão temos um problema de física elétrica com aplicação bem interessante das nossas queridas EDO’s. Basicamente, temos um resistor com resistência variável seguindo:

R = s e n t + 2 t + 1

Um capacitor também com capacitância variável:

C = 2 + c o s ⁡ ( t )

E uma força eletromotriz constante valendo E = 12 .

O objetivo inicial é mostrarmos que q ( t ) satisfaz a EDO:

q ' t + p t q t = g ( t )

Então vamos lá! O enunciado nos fala que, pela segunda lei de Kirchoff, a soma das quedas de tensão ao longo do circuito é igual à força eletromotriz. Daí, sendo C q ( t ) e R q ' ( t ) as quedas de tensão no capacitor e resistor, respectivamente, podemos escrever que:

R q ' t + C q t = E

Substituindo os dados do enunciado, chegamos a:

s e n t + 2 t + 1 q ' t + 2 + cos ⁡ t ⋅ q t = 12

Pra encontrar o formato que estamos procurando, vamos dividir tudo por s e n t + 2 t + 1 . Assim:

q ' t + 2 + c o s t s e n t + 2 t + 1 q t = 12 s e n t + 2 t + 1

Excelente! Sendo 2 + c o s t s e n t + 2 t + 1 = p ( t ) e 12 s e n t + 2 t + 1 = g ( t ) , podemos reescrever a equação como:

q ' t + p t q t = g ( t )

O que é exatamente o que queríamos mostrar 😊

Passo 2

b) Nesse item devemos encontrar a primitiva, P ( t ) , de p ( t ) e calcular e P t e e - P t . Lembrando que a primitiva é simplesmente a integral da função, tipo:

P t = ∫ p t d t

Daí, como 2 + c o s t s e n t + 2 t + 1 = p ( t ) , temos:

P t =   ∫ 2 + c o s t s e n t + 2 t + 1 d t

Aqui a gente tem que ter o pulo do gato!

Chamando u = s e n t + 2 t + 1 , temos d u = ( c o s t + 2 ) d t . Ou seja:

∫ 2 + c o s t s e n t + 2 t + 1 d t =   ∫ 1 u d u

Logo, como a resistência é sempre positiva, vale:

P t = l n ⁡ ( s e n t + 2 t + 1 )

Massa! Bora calcular as exponenciais agora:

e P t = e ln ⁡ s e n t + 2 t + 1 =   s e n t + 2 t + 1

e - P t = 1 e P t = 1 s e n t + 2 t + 1

Muito bom! Menos um itemmmm, falta pouco!

Passo 3

c) Aqui precisamos calcular a solução geral da EDO encontrada no item a:

q ' t + 2 + c o s t s e n t + 2 t + 1 q t = 12 s e n t + 2 t + 1

Mas essa é uma EDO linear de 1 ° ordem, certo? Vocês lembram da solução geral?

Hahaha! Bora revisar então. Se temos uma EDO linear de 1 ° ordem do tipo:

q ' t + p t q t = g ( t )

A solução geral é dada por:

q t = e - P t ⋅ ∫ e P t ⋅ g t d t

Excelente! Já calculamos boa parte desses termos no item b, substituindo temos:

q t = 1 s e n t + 2 t + 1 ∫ s e n t + 2 t + 1 ⋅ 12 s e n t + 2 t + 1 d t

⇒ q t = 1 s e n t + 2 t + 1 ∫ 12 d t

Logo, a solução geral é dada por:

q t =   12 t + B s e n t + 2 t + 1

Aeee, conseguimos. Falta só o último item agora! Simbora pessoal.

Passo 4

d) Pra finalizar a questão, primeiro devemos calcular a solução particular para o caso q 0 = q 0 .

É só substituirmos na nossa solução geral para determinar o valor da constante. Daí:

q 0 = 12 0 + B s e n 0 + 2 ⋅ 0 + 1 = q 0

∴ B = q 0 12

Substituindo de volta na solução geral, iremos determinar a solução particular pedida. Então:

q t = 12 s e n t + q 0   s e n t + 2 t + 1

Agora é só calcularmos o lim t → ∞ ⁡ q ( t ) .

lim t → ∞ ⁡ q t =   lim t → ∞ ⁡ 12 s e n t + q 0   s e n t + 2 t + 1

Pensa comigo, a função do numerador é limitada pois a seno é limitada. Já no denominador, o termo 2 t faz todo denominador tender a infinito junto com t . Logo, estamos calculando um limite do tipo l i m i t a d o / i n f i n i t o . Portanto, podemos afirmar que:

lim t → ∞ ⁡ q t = 0

c . q . d

Colocar c . q . d no final de demonstração é muito chique galera, fica a dica aí haha!

Mas é isso, obrigado pela atenção de vocês! Tamo junto 😊

Resposta

a) Resolução no texto.

b)

  P t = l n ⁡ ( s e n t + 2 t + 1 )

c)

q t =   12 t + B s e n t + 2 t + 1

d)  

q t = 12 s e n t + q 0   s e n t + 2 t + 1

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