Considere o problema de valor inicial

y ' + a x y = b x ,     0 < x < π , y π 2 = 0  

Sabendo que μ x = s e n x é um fator integrante desta equação diferencial e que a solução do problema acima é y = y x = s e n x 2 - 1 2 s e n x ,   ache a x e   b x .

Passo 1

Para resolvermos essa questão vamos precisar lembrar de algumas coisinhas. A primeira será a forma da equação homogênea que estamos acostumados a trabalhar:

y ' + P x y = Q ( x )

Nesse caso aplicamos o fator integrante μ . Para facilitar nossa vida podemos ainda lembrar as relações de μ com P x   e   Q ( x ) . São elas:

μ ' = P x μ

μ y = ∫ μ   Q x d x

Muito legal ter essas relações na cabeça pra facilitar nossa vida!!

(Lembrando que P x = a x e   Q x = b x ).

Passo 2

Para descobrirmos então o a ( x )

μ ' = a x μ

cos ⁡ x = a x s e n x

a x = cos ⁡ x s e n x = c o t g ( x )

Passo 3

Para descobrirmos b x faremos então:

μ y = ∫ μ   b x   d x

Como não sabemos a integral da b ( x ) podemos reescrever isso como:

μ y ' = μ b ( x )

Observe ainda que os enunciado já nos informou que y = s e n x 2 - 1 2 s e n x . Logo temos:

s e n x   s e n x 2 - 1 2 s e n x ' = s e n x   b ( x )

s e n 2 x 2 - 1 2 ' = s e n x   b ( x )

s e n x   c o s x = s e n x   b ( x )

b x = cos ⁡ x

Passo 4

Resposta

a x = c o t g x

b x = cos ⁡ x

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