Considere o problema de valor inicial:

y ' = t y 4 - y 3 y 0 = y 0

a ) Resolva o problema de valor inicial e esboce as soluções quando:

  • y 0 = 0 ;
  • y 0 = 2 ;
  • y 0 = 4 ;
  • y 0 = 8

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos o seguinte problema de valor inicial:

y ' = t y 4 - y 3 y 0 = y 0

É interessante a gente perceber que não foi dada exatamente a condição inicial, temos ela em função de y 0 . Assim precisamos primeiro resolver e EDO em função desse y 0 dado, e depois substituímos ele por cada um dos valores dados no enunciado, beleza?

Mas, e como podemos resolver essa equação diferencial? Então, podemos começar verificando se ela é separável. Temos:

y ' = t y 4 - y 3

Daí:

1 y ( 4 - y ) d y = t 3 d t

Excelente! Temos uma equação separável!

Assim, para resolvê-la basta integrar em ambos os lados.

Vem com a gente que vai ficar super claro 😉

Passo 2

Bom, vamos começar integrando a equação separável em ambos os lados:

∫ 1 y ( 4 - y ) d y = ∫ t 3 d t

Começando pela integral da esquerda, temos:

∫ 1 y ( 4 - y ) d y

Parece um pouquinho complicado né? Mas, podemos usar um truque nessa fração. Se olharmos direitinho, temos:

1 y ( 4 - y ) = 1 4 1 y + 1 4 - y

Daí, substituindo na integral, temos:

∫ 1 y 4 - y d y = 1 4 ⋅ ∫ 1 y d y + ∫ 1 4 - y d y

= 1 4 ⋅ ln ⁡ y - ln ⁡ 4 - y + C

= 1 4 ⋅ ln ⁡ y 4 - y + C

Show!

Resolvendo a integral da direita, temos:

∫ t 3 d t = t 2 6 + D

Daí, igualando as duas integrais, e suprimindo uma das constantes, temos:

1 4 ⋅ ln ⁡ y 4 - y + C = t 2 6

Podemos reescrever como:

ln ⁡ y 4 - y = 4 t 2 6 - 4 C

Mas, ( - 4 C ) é apenas uma constante qualquer. Daí:

ln ⁡ y 4 - y = 4 t 2 6 + C

Logo:

y 4 - y = e 2 t 2 3 + C

Invertendo os termos:

4 y - 1 = e - 2 t 2 3 + C

Logo:

y = 4 1 + e - 2 t 2 3 + C

Como:

e - 2 t 2 3 + C = e - 2 t 2 3 ⋅ e - C

= k ⋅ e - 2 t 2 3

Podemos escrever:

y = 4 1 + k ⋅ e - 2 t 2 3

onde k é uma constante real que depende da condição inicial.

Passo 3

Para calcular a constante k precisamos substituir a condição inicial:

y 0 = y 0

Temos:

y 0 = 4 1 + k ⋅ e 0

= 4 1 + k

Daí:

1 + k = 4 y 0

∴ k = 4 y 0 - 1

Excelente!

Passo 4

Podemos agora finalmente substituir os valores dados para y 0 e encontrar as soluções para cada caso:

1 ) y 0 = 0

Puts, esse caso pode parecer problemático já que havíamos encontrado:

k = 4 y 0 - 1

E, não podemos dividir por zero.

É que na verdade, para chegar nessa expressão simplifica para k , dividimos por 0 durante a solução sem considerar que y poderia ser nulo. Assim, vamos voltar um pouco:

ln ⁡ y 4 - y = 4 t 2 6 + C

Teríamos:

ln ⁡ 0 = 0 + C

Então, a nossa constante:

C → - ∞

Nesse caso a solução em si não faria muito sentido, pois quando separamos a EDO passamos o y dividindo.

2 )   y 0 = 2

Temos:

k = 4 2 - 1

= 1

Assim:

y = 4 1 + e - 2 t 2 3

O que nos dá o seguinte esboço dessa solução:

Passo 5

3 )   y 0 = 4 :

Então, temos:

k = 4 4 - 1

⇒ k = 0

Assim:

y = 4

E, por fim:

4 )   y 0 = 8

Logo:

k = 4 8 - 1

=   - 1 2

Substituindo:

y = 4 1 - 1 2 ⋅ e - 2 t 2 3

Cujo esboço:

Perfeito galera!

Finalmente matamos esse item. Obrigado pela atenção de todos e até a próxima 😉

Resposta

Resposta no texto.

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