1. Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma x y ' + a 0 x y = g ( x ) para qual y c = c / x 3 e y p = x 3 . Dê um intervalo sobre o qual y = x 3 + c / x 3 é a solução geral da EDO
  2. Defina uma condição inicial y x 0 = y 0 para a EDO encontrada na parte (a) tal que a solução do PVI seja y = x 3 - 1 / x 3 . Redefina a condição inicial se a solução é y = x 3 + 3 / x 3 . Dê um intervalo I de definição de cada uma dessas soluções. Existe um problema de valor inicial cuja solução está definida sobre ( - ∞ , + ∞ ) ?
  3. Cada PVI encontrado na parte (b) é único? Isto é, pode existir mais do que um PVI para o qual, digamos, y = x 3 - 1 / x 3 , x em algum intervalo I, é solução?

Passo 1

Oi, tudo bem por aí? Essa questão parece ser complicada, mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora lá? O problema deu essa equação diferencial aqui

x y ' + a 0 x y = g ( x )

E nos disse que as soluções (da parte homogênea e particular) são (respectivamente):

y c = c x 3   ;     y p = x 3

E na primeira pede um intervalo de definição. Mas você sabe como encontrar ele?

Achar um intervalo de definição para a solução de uma equação diferencial significa encontrar um conjunto de valores de x em que essa solução “não é falha”. Ou seja, não apresenta uma indeterminação, uma divisão por zero, uma raiz de índice par de número negativo... essas coisas

O problema também fala em ser solução. Você sabe como identificar que uma função é solução? É quanto ela satisfaz a equação diferencial! Basta derivar e substituir na EDO e verificar a igualdade! Mas será que essa solução é única?

Temos um teorema para verificar isso! Se tivermos uma equação diferencial do tipo

y ' = f ( x , y )

Se tanto f ( x , y ) quanto ∂ f ∂ y forem contínuas em um intervalo próximo do ponto inicial ( x 0 , y 0 ) , garantimos que existe solução y ( x ) que satisfaça a equação e ela é única!

( x 0 , y 0 ) deve estar dentro do intervalo de definição da solução

Agora que você já relembrou todos esses conceitos, partiu resolver o problema?

Relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?

Passo 2

Letra (a): Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma x y ' + a 0 x y = g ( x ) para qual y c = c / x 3 e y p = x 3 . Dê um intervalo sobre o qual y = x 3 + c / x 3 é a solução geral da EDO

Nossa equação diferencial deve ser do tipo

x y ' + a 0 x y = g ( x )

E sabemos que para a solução da homogênea associada (com g x = 0 ) temos a solução

y c = c x 3

E para a particular

  y p = x 3

Então a ideia é descobrir quem é a 0 ( x ) a partir da solução da homogênea, e com isso achar a g ( x ) a partir da solução da equação particular

A EDO homogênea associada é

x y ' + a 0 x y = g x → y ' + a 0 ( x ) y = 0

E sua solução

y c = c x 3

Derivando a solução temos

y c ' = - 3 c x 4

Agora é só substituir na equação para achar a 0 :

x y ' + a 0 x y = 0

x . - 3 c x 4 + a 0 c x 3 = 0

- 3 c = - a 0 c → a 0 = 3

Beleza? Agora nossa EDO ficou pouco mais conhecida

x y ' + a 0 x y = g x

x y ' + 3 y = g x

Agora vamos usar a solução da particular para achar g ( x ) :

y p = x 3 ; y p ' = 3 x 2

Substituindo temos

x y ' + 3 y = g x

x 3 x 2 + 3 x 3 = g x → g x = 6 x 3

Assim nossa EDO linda

x y ' + a 0 x y = g x

x y ' + 3 y = 6 x 3

e o intervalo de definição da solução?

y = y c + y p = c x 3 + x 3

Ela só “falha” em x = 0 , então o intervalo pode ser

I = - ∞ , 0   o u     0 , + ∞

Certo?

Passo 3

Letra (b): Defina uma condição inicial y x 0 = y 0 para a EDO encontrada na parte (a) tal que a solução do PVI seja y = x 3 - 1 / x 3 . Redefina a condição inicial se a solução é y = x 3 + 3 / x 3 . Dê um intervalo I de definição de cada uma dessas soluções. Existe um problema de valor inicial cuja solução está definida sobre ( - ∞ , + ∞ ) ?

Agora queremos que nossa solução geral

y = c x 3 + x 3

Seja definida de tal forma que a solução seja

y = x 3 - 1 x 3

Em outras palavras: para qual valor de x 0 e y 0 que nossa constante c = - 1 ?

y 0 = x 0 3 + c x 0 3

Isso acontece quando x 0 = 1 e y 0 = 0

0 = 1 3 + c 1 3

c = - 1

Então para que tenhamos a solução da equação diferencial

x y ' + 3 y = 6 x 3

Igual a y = x 3 - 1 x 3   ,   precisamos que a condição inicial seja ( 1,0 ) . E esse ponto está no intervalo de definição da solução! O que não podemos ter é x 0 = 0 , qualquer outro valor é válido!

c de forma que

y = x 3 + 3 x 3

Também seja solução!

y 0 = x 0 3 + c x 0 3

Se fizermos x 0 = 1 e y 0 = 4 vamos ter c = 3 :

4 = 1 3 + c 1 3 → c = 3

Assim temos o ponto ( 1,4 )

Deixo aqui como exercício para você verificar que essas duas soluções são de fato soluções para nossa equação diferencial do item (a).

Por fim o problema pergunta se existe PVI cuja solução está definida em ( - ∞ , + ∞ ) . E a resposta é não: para essa solução

y = x 3 + c x 3

Não temos definição em x = 0 ! Beleza?

Passo 4

Letra (c): Cada PVI encontrado na parte (b) é único? Isto é, pode existir mais do que um PVI para o qual, digamos, y = x 3 - 1 / x 3 , x em algum intervalo I, é solução?

Para responder esse último item precisamos relembrar da condição para unicidade da solução:

Dada uma equação do tipo:

y ' = f ( x , y )

Se tanto f ( x , y ) quanto ∂ f ∂ y forem contínuas em um intervalo próximo do ponto inicial ( x 0 , y 0 ) , garantimos que existe solução y ( x ) que satisfaça a equação e ela é única!

Nossa equação diferencial é

x y ' + 3 y = 6 x 3

Isolando y ' temos

x y ' = 6 x 3 - 3 y

y ' = 6 x 2 - 3 y x

Temos que f x , y = 6 x 2 - 3 y x é contínua em todos os R , menos em x = 0 . E a derivada parcial em y

∂ f ∂ y = - 3 x

Também! Assim, como x = 0 não faz parte do intervalo de definição da solução, então em qualquer uma das soluções que encontramos, a solução é única!

E é isso! Terminamos! Vamos treinar mais?

Resposta

a ) x y ' + 3 y = 6 x 3

I = - ∞ , 0   o u     ( 0 , ∞ )  

b )   1,0 e   ( 1,4 )

c )   é   ú n i c a

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0