- Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma  para qual  e . Dê um intervalo sobre o qual  é a solução geral da EDO 
- Defina uma condição inicial  para a EDO encontrada na parte (a) tal que a solução do PVI seja . Redefina a condição inicial se a solução é . Dê um intervalo I de definição de cada uma dessas soluções. Existe um problema de valor inicial cuja solução está definida sobre ?
- Cada PVI encontrado na parte (b) é único? Isto é, pode existir mais do que um PVI para o qual, digamos, ,  em algum intervalo I, é solução?
Passo 1
Oi, tudo bem por aí? Essa questão parece ser complicada, mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora lá? O problema deu essa equação diferencial aqui
E nos disse que as soluções (da parte homogênea e particular) são (respectivamente):
E na primeira pede um intervalo de definição. Mas você sabe como encontrar ele?

Achar um intervalo de definição para a solução de uma equação diferencial significa encontrar um conjunto de valores de em que essa solução “não é falha”. Ou seja, não apresenta uma indeterminação, uma divisão por zero, uma raiz de índice par de número negativo... essas coisas
 O problema também fala em ser solução. Você sabe como identificar que uma função é solução? É quanto ela satisfaz a equação diferencial! Basta derivar e substituir na EDO e verificar a igualdade! Mas será que essa solução é única?
O problema também fala em ser solução. Você sabe como identificar que uma função é solução? É quanto ela satisfaz a equação diferencial! Basta derivar e substituir na EDO e verificar a igualdade! Mas será que essa solução é única?
 Temos um teorema para verificar isso! Se tivermos uma equação diferencial do tipo
  Temos um teorema para verificar isso! Se tivermos uma equação diferencial do tipo
Se tanto quanto forem contínuas em um intervalo próximo do ponto inicial , garantimos que existe solução que satisfaça a equação e ela é única!
 
  
Agora que você já relembrou todos esses conceitos, partiu resolver o problema?
Relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?
Passo 2
Letra (a): Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma para qual e . Dê um intervalo sobre o qual é a solução geral da EDO
Nossa equação diferencial deve ser do tipo
E sabemos que para a solução da homogênea associada (com ) temos a solução
E para a particular
Então a ideia é descobrir quem é a partir da solução da homogênea, e com isso achar a a partir da solução da equação particular

A EDO homogênea associada é
E sua solução
Derivando a solução temos
Agora é só substituir na equação para achar :

Beleza? Agora nossa EDO ficou pouco mais conhecida
Agora vamos usar a solução da particular para achar :
Substituindo temos
Assim nossa EDO linda

e o intervalo de definição da solução?
Ela só “falha” em , então o intervalo pode ser
Certo?

Passo 3
Letra (b): Defina uma condição inicial para a EDO encontrada na parte (a) tal que a solução do PVI seja . Redefina a condição inicial se a solução é . Dê um intervalo I de definição de cada uma dessas soluções. Existe um problema de valor inicial cuja solução está definida sobre ?
Agora queremos que nossa solução geral
Seja definida de tal forma que a solução seja
Em outras palavras: para qual valor de e que nossa constante ?
Isso acontece quando e
Então para que tenhamos a solução da equação diferencial
Igual a precisamos que a condição inicial seja . E esse ponto está no intervalo de definição da solução! O que não podemos ter é , qualquer outro valor é válido!
 
  
Também seja solução!
Se fizermos e vamos ter :
Assim temos o ponto

Deixo aqui como exercício para você verificar que essas duas soluções são de fato soluções para nossa equação diferencial do item (a).
Por fim o problema pergunta se existe PVI cuja solução está definida em . E a resposta é não: para essa solução
Não temos definição em ! Beleza?
Passo 4
Letra (c): Cada PVI encontrado na parte (b) é único? Isto é, pode existir mais do que um PVI para o qual, digamos, , em algum intervalo I, é solução?
Para responder esse último item precisamos relembrar da condição para unicidade da solução:
Dada uma equação do tipo:
Se tanto quanto forem contínuas em um intervalo próximo do ponto inicial , garantimos que existe solução que satisfaça a equação e ela é única!
Nossa equação diferencial é
Isolando temos
Temos que é contínua em todos os , menos em . E a derivada parcial em
Também! Assim, como não faz parte do intervalo de definição da solução, então em qualquer uma das soluções que encontramos, a solução é única!
E é isso! Terminamos! Vamos treinar mais?
