Determine se a equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem é linear

b ) y ' + x y = e y ' + x y + 1  

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão fala sobre ordem e linearidade de uma equação diferencial, então antes de qualquer coisa vamos relembrar o que são esses conceitos?

  • Ordem: a ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada de maior ordem. Por exemplo
  • d 2 y d x 2 + x y = 0 → 2 ª   o r d e m

    y ' ' ' + x y ' = x 2 → 3 ª   o r d e m

    y ' 2 + 2 y = x → 1 ª   o r d e m

  • Linearidade: vamos começar com alguns exemplos:

x 5 d 5 y d x 5 + x 3 d 3 y d x 3 + y = 0

x d 3 y d x 3 + x 3 y = x

x 2 d 6 y d x 6 + x d 2 y d x 2 = 2

Vejamos algumas similaridades:

  • Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não estão elevados ao quadrado, ao cubo ou qualquer outro expoente...
  • Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de y e o próprio y dependem apenas de x

Então podemos generalizar da seguinte forma:

Para que uma equação diferencial seja linear ela precisa satisfazer esses dois itens:

  1. Uma edo é linear se a variável dependente ( y   n o   n o s s o   c a s o ) e as suas derivadas que aparecem na equação estão elevadas ao expoente 1
  2. Os coeficientes que multiplicam a variável dependente ( y   n o   c a s o ) e multiplicam as suas derivadas dependem apenas da variável independente ( x   n e s s e   c a s o )

Satisfazendo essas duas condições dizemos que a equação é: LINEAR

E quando falhar em alguma (ou as duas) delas? Chamamos de: NÃO-LINEAR

Sabendo disso, agora nossa missão é classificar a equação diferencial dada!

Bora lá!

Passo 2

Passo 3

Nossa EDO

y ' + x y = e y ' + x y + 1  

Sabemos que ela é de primeira ordem porque nossa maior derivada é a primeira (e também disse no enunciado)

E agora a linearidade: os coeficientes não dependem apenas de x , temos que a derivada está lá no argumento da exponencial

Beleza?

Isso significa que nossa EDO não é linear!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

n ã o

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0