Determine os pontos   ( t 0 ,   y 0 ) , para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 tem solução única.

(d) Se   f ( t ,   y )   = t y 2 - 1 ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar os pontos   ( t 0 ,   y 0 ) , para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 tem solução única.

Sendo   f ( t ,   y )   = t y 2 - 1 ;

Temos pelo teorema de existência e unicidade que se f ( t ,   y ) e ∂ ∂ t f ( t ,   y ) forem contínuas na região triangular a ≤   t   ≤   b e c   ≤   y   ≤   d do plano t   y , então existe um intervalo I centrado em ( t 0 ,   y 0 ) e uma única função y ( t ) definida em I que satisfaz o nosso problema de valor inicial.

Então vamos verificar quais são os intervalos que f ( t ,   y ) e ∂ ∂ t f ( t ,   y ) são contínuas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular ∂ ∂ t f ( t ,   y ) :

∂ ∂ t f ( t ,   y ) = ∂ ∂ t t y 2 - 1 = y 2 - 1

Como temos y 2 - 1 temos que:

y 2 - 1 ≥ 0

y 2 ≥ 1

Passo 3

Olhando para f ( t ,   y ) = t y 2 - 1 , temos y 2 - 1 então temos a mesma restrição para y :

y 2 ≥ 1 .

Passo 4

Então para o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 ter solução única temos que t pode assumir qualquer valor e:

y 2 ≥ 1

sendo ( t 0 ,   y 0 ) contido nesse intervalo.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da solução.

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