Determine as regiões do plano t y nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:

2 .     y ' = 1 - t 2 - y 2 1 2

Passo 1

Faaala pessoal, tudo bom com vocês?

Então, nessa questão recebemos uma equação diferencial dada por:

y ' = 1 - t 2 - y 2 1 2

Sobre essa equação, o enunciado nos pede para determinar as regiões do plano cartesiano t y nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade são válidas. Vocês lembram desse teorema?

Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:

d y d t = f ( y , t )

Se f ( y , t ) e ∂ f ∂ y são contínuas em uma região do plano t y , então existe uma região do plano em que há uma única y ( t ) solução do PVI.

Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos f e ∂ f / ∂ y contínuas para a partir deles encontrar a região do plano da nossa única solução.

Vem comigo que vai ficar bem claro 😉

Passo 2

Bom, pra começar, comparando a equação diferencial que recebemos:

y ' = 1 - t 2 - y 2 1 2

Temos que:

f t , y = 1 - t 2 - y 2 1 2

Vamos começar analisando a continuidade de f .

A grande restrição dessa lei de formação é que temos uma raiz quadrada. Assim, precisamos que a expressão dentro da raiz seja maior ou igual a zero. Logo:

1 - t 2 - y 2 ≥ 0

∴ t 2 + y 2 ≥ 1

Ou seja, a região em que f é contínua é toda a região no plano R 2 externa e no limite da circunferência centrada em ( 0,0 ) e de raio igual a 1 .

Passo 3

Beleza, agora vamos analisar a continuidade da derivada parcial com relação a y . Temos:

∂ f ∂ y = d 1 - t 2 - y 2 1 2 d y

Usando a regra da cadeia, temos:

∂ f ∂ y = 1 2 ⋅ 1 1 - t 2 - y 2 1 2 ⋅ ( - 2 y )

=   - y 1 - t 2 - y 2 1 2

Agora temos dois problemas que geram restrições.

O primeiro deles é que como temos uma raiz quadrada, o termo dentro da raiz não pode ser negativo. Assim, é a mesma condição que calculamos no item anterior:

{ t , y ∈ R 2 | t 2 + y 2 ≥ 1 }

Já o segundo problema, que é exclusivo da derivada parcial, é que o denominador de uma fração nunca pode ser nulo. Ou seja, não podemos ter o termo dentro da raiz sendo igual a zero.

Logo:

1 - t 2 - y 2 ≠ 0

t 2 + y 2 ≠ 1

Logo, para a derivada parcial temos o seguinte conjunto solução:

{ t , y ∈ R 2 | t 2 + y 2 ≠ 1 }

Daí, fazendo a superposição dos dois conjuntos, temos que a região do plano em que garantimos a obediência ao teorema da existência e unicidade vale:

t , y ∈ R 2     t 2 + y 2 > 1 }

Excelente! Então é isso pessoal!

Obrigado pela atenção e até a próxima 😊

Resposta

t , y ∈ R 2     t 2 + y 2 > 1 }

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