Determine as regiões do plano t y nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:

3 . d y d t = 1 + t 2 3 y - y 2

Passo 1

Fala aí gente, tudo na paz?

Então, nessa questão recebemos uma equação diferencial dada por:

d y d t = 1 + t 2 3 y - y 2

Sobre essa equação, o enunciado nos pede para determinar as regiões do plano cartesiano t y nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade são válidas. Vocês lembram desse teorema?

Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:

d y d t = f ( y , t )

Se f ( y , t ) e ∂ f ∂ y são contínuas em uma região do plano t y , então existe uma região do plano em que há uma única y ( t ) solução do PVI.

Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos f e ∂ f / ∂ y contínuas para a partir deles encontrar a região do plano da nossa única solução.

Vem comigo que vai ficar bem claro 😉

Passo 2

Bom, pra começar, podemos comparar a equação diferencial dada com o nosso teorema. Daí, vem que:

f t , y = 1 + t 2 3 y - y 2

Assim, precisamos analisar a continuidade de f ( x , y ) .

Analisando a expressão da sua lei de formação, vemos que o grande problema está no denominador da fração, pois ele nunca pode ser nulo. Assim:

3 y - y 2 ≠ 0

3 y ≠ y 2

⇒ y ≠ 0 y ≠ 3

Ou seja, a região do plano em que f é contínua é descrita como:

t , y ∈ R 2   y ≠ 0   e   y ≠ 3 }

Massa!

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada parcial de f com relação a y . Vamos começar calculando-a.

Pela regra da cadeia, teremos que:

∂ f ∂ y = 1 + t 2 ⋅ - 1 ⋅ 1 3 y - y 2 2 ⋅ - 2 y

Logo:

∂ f ∂ y = 2 y 1 + t 2 3 y - y 2 2

Olha que interessante. Apesar de termos derivado a nossa função f , a restrição continua sendo no denominador que precisa ser diferente de zero. E, o denominador ainda é basicamente o mesmo de f . Ou seja:

3 y - y 2 ≠ 0

∴ y ≠ 0 y ≠ 3

Logo, a região do plano em que �� f ∂ y é contínua também é dada por:

t , y ∈ R     y ≠ 0   e   y ≠ 3 }

Como essas regiões são as mesmas para f e para ∂ f / ∂ y , concluímos que para o teorema da unicidade e existência ser obedecido devemos considerar a região do plano:

t , y ∈ R     y ≠ 0   e   y ≠ 3 }

Prontinho pessoal! É isso aí!

Muito obrigado pela atenção de todos vocês e até a próxima 😊

Resposta

t , y ∈ R     y ≠ 0   e   y ≠ 3 }

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