Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita

d ) d r d θ = r 2 θ ,   r 1 = 2  

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

d r d θ = r 2 θ

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de r e do outro tudo que depende de θ

E depois?

Com isso vamos passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

r = r ( θ )

É só isolar r !

Como é um problema definido, precisamos aplicar a condição inicial no final e encontrar a constante C !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

d r d θ = r 2 θ

Separando as variáveis

r - 2 d r = d θ θ

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

r - 2 d r = d θ θ

∫ r - 2   d r = ∫ d θ θ

Ah! Não esquece do + C

- 1 r = ln ⁡ θ + C

Beleza?

Passo 4

Agora vamos aplicar a condição inicial na solução para achar C

r 1 = 2

- 1 r = ln ⁡ θ + C

- 1 2 = ln ⁡ 1 + C

C = - 1 2

Aí nossa solução particular fica

- 1 r = ln ⁡ θ - 1 2

- 1 r = 2 ln ⁡ θ - 1 2

r = 2 1 - 2 ln ⁡ θ

E é isso! Espero ter ajudado! Bora treinar mais?

Resposta

r = 2 1 - 2 ln ⁡ θ

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