Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita

e ) y ' = 2 x y + x 2 y ,   y 0 = - 2  

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

y ' = 2 x y + x 2 y

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E agora?

Com isso vamos trocar y ' = d y d x , passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema definido, precisamos aplicar a condição inicial no final e encontrar a constante C !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' = 2 x y + x 2 y = 2 x y ( 1 + x 2 )

Separando as variáveis

y y ' = 2 x 1 + x 2

Vamos trocar y ' = d y d x

y d y d x = 2 x 1 + x 2

E separar por fim

y   d y = 2 x 1 + x 2 d x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

y   d y = 2 x 1 + x 2 d x

∫ y   d y = ∫ 2 x 1 + x 2 d x

Do lado direito vamos chamar u = 1 + x 2 e assim d u = 2 x d x . Aí podemos usar integração por substituição simples!

Ah! Não esquece do + C . Integrando temos

y 2 2 = ∫ 1 u d u + C = ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + C

Beleza?

Passo 4

Agora vamos aplicar a condição inicial na solução para achar C

y 0 = - 2

y 2 2 = ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + C

1 2 - 2 2 = ln ⁡ ( 1 ) + C

C = 2

Aí nossa solução particular fica

y 2 2 = ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + 2

Isolando y

y = - 2 ln ⁡ 1 + x 2 + 2

Pois y < 0

E é isso! Espero ter ajudado! Bora treinar mais?

Resposta

y = - 2 ln ⁡ 1 + x 2 + 2

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Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
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Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0