Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita

g ) y ' = 2 x 1 + 2 y ,   y 2 = 0  

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

y ' = 2 x 1 + 2 y

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E agora?

Com isso vamos trocar y ' = d y d x , passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema definido, precisamos aplicar a condição inicial no final e encontrar a constante C !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' = 2 x 1 + 2 y

Separando as variáveis

( 1 + 2 y ) y ' = 2 x

Vamos trocar y ' = d y d x

( 1 + 2 y ) d y d x = 2 x

E separar por fim

( 1 + 2 y )   d y = 2 x d x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

( 1 + 2 y )   d y = 2 x d x

∫ ( 1 + 2 y )   d y = ∫ 2 x d x

Agora é só integrar! Ah! Não esquece do + C

y + y 2 = x 2 + C

Beleza?

Passo 4

Agora vamos aplicar a condição inicial na solução para achar C

y 2 = 0

y + y 2 = x 2 + C

0 = 2 2 + C

C = - 4

Aí nossa solução particular fica

y + y 2 = x 2 - 4

Para isolar y precisamos completar quadrado do lado esquerdo

y 2 + y + 1 4 - 1 4 = x 2 - 4

y + 1 2 2 = x 2 - 4 + 1 4 = x 2 - 15 4

y = x 2 - 15 4 - 1 2

Com a raiz positiva, pois y 2 = 0

E é isso! Espero ter ajudado! Bora treinar mais?

Resposta

y = x 2 - 15 4 - 1 2

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Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0