Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita

h ) y ' = x ( x 2 + 1 ) 4 y 3 ,   y 0 = - 1 2  

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

y ' = x x 2 + 1 4 y 3

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E depois?

Com isso vamos trocar y ' = d y d x , passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema definido, precisamos aplicar a condição inicial no final e encontrar a constante C !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' = x x 2 + 1 4 y 3

Separando as variáveis

4 y 3 y ' = x 3 + x

Vamos trocar y ' = d y d x

4 y 3 d y d x = x 3 + x

E separar por fim

4 y 3   d y = ( x 3 + x ) d x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

4 y 3   d y = ( x 3 + x ) d x

∫ 4 y 3   d y = ∫ ( x 3 + x ) d x

Agora é só integrar!

Ah! Não esquece do + C

y 4 = x 4 4 + x 2 2 + C

Beleza?

Passo 4

Agora vamos aplicar a condição inicial na solução para achar C

y 0 = - 1 2

Nossa solução

y 4 = x 4 4 + x 2 2 + C

- 1 2 4 = 0 + C

1 2 = 0 + C

C = 1 2

Aí nossa solução particular fica

y 4 = x 4 4 + x 2 2 + 1 2

E por fim isolar y

y = - x 4 4 + x 2 2 + 1 2 4

Pegamos a raiz negativa pois y 0 = - 1 2

E é isso! Espero ter ajudado! Bora treinar mais?

Resposta

y = - x 4 4 + x 2 2 + 1 2 4

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Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
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Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0