Determine a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita

j ) y ' = e - x - e x 3 + 4 y ,   y 0 = 1  

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

y ' = e - x - e x 3 + 4 y

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E depois?

Com isso vamos trocar y ' = d y d x , passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema definido, precisamos aplicar a condição inicial no final e encontrar a constante C !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' = e - x - e x 3 + 4 y

Separando as variáveis

( 3 + 4 y ) y ' = ( e - x - e x )

Vamos trocar y ' = d y d x

( 3 + 4 y ) d y d x = e - x - e x

E separar por fim

( 3 + 4 y )   d y = e - x - e x d x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

( 3 + 4 y )   d y = e - x - e x d x

∫ ( 3 + 4 y )   d y = ∫ e - x - e x d x

Agora é só integrar!

Ah! Não esquece do + C

3 y + 2 y 2 = - e - x - e x + C

Beleza?

Passo 4

Agora vamos aplicar a condição inicial na solução para achar C

y 0 = 1

Nossa solução

3 y + 2 y 2 = - e - x - e x + C

3 + 2 = - 1 - 1 + C

5 = - 2 + C

C = 7

Aí nossa solução particular fica

3 y + 2 y 2 = - e - x - e x + 7

E por fim para isolar y vamos completar quadrado do lado esquerdo

y 2 + 3 2 y + 9 16 - 9 16 = - e - x - e x + 7

y + 3 2 2 = - e - x - e x + 121 16

y = - e - x - e x + 121 16 - 3 2

Pegamos a raiz positiva pois y 0 = 1

E é isso! Espero ter ajudado! Bora treinar mais?

Resposta

y = - e - x - e x + 121 16 - 3 2

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Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
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Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0