Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

UFRJ, Cálculo 2, P2 2013.1, questão 2 Múltipla Escolha

Encontre o fator integrante correto para a seguinte diferencial: cos ⁡ x y ' - 2 s e n x y = e - x

  1. cos 2 ⁡ x
  2. e 2 cos ⁡ x
  3. e - 2 sec 2 ⁡ x
  4. e - 2 t g x
  5. 2 cos ⁡ x

Passo 1

Para calcularmos o fator integrante devemos, antes de mais nada, colocar a EDO na forma mais comum que estudamos:Dividiremos tudo por cos ⁡ x

y ' - 2 t g x y = e - x cos ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A fórmula do fator integrante é:

I x = e ∫ A x d x

No nosso caso A x = - 2 t g ( x )

Então devemos calcular a integral: ∫ - 2 t g x d x = - 2 ∫ s e n x cos ⁡ x d x

Passo 3

Para calcular essa integral utilizaremos uma mudança de variável

v x = cos ⁡ x ; d v = - s e n x d x

Agora aparece a pergunta, mas porque fizemos isso? Fizemos isso por temos o s e n x no numerador multiplicando, que é a derivada de v ‼ ‼

Logo vamos ficar com:

∫ - 2 t g x d x = - 2 ∫ s e n x cos ⁡ x d x = - 2 ∫ - 1 u d u = = 2 ln ⁡ u = 2 ln ⁡ cos ⁡ x

Atenção, omitimos a constante de integração no final, pois não nos interessa saber todas as funções que são fator integrante, uma só resolve nosso problema!

Passo 4

Logo vamos continuar as contas:

I x = e 2 ln ⁡ cos ⁡ x = c o s 2 ( x )  

Passo 5

Resposta

  1. cos 2 ⁡ x

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