Encontre a solução do problema de valor inicial dado

d ) y ' + 2 t y = cos ⁡ t t 2 ,   y π = 0 ,   t > 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

y ' + 2 t y = cos ⁡ t t 2

E essa condição inicial

y π = 0

Para resolvê-la vamos relembrar um tipo de equação diferencial bem interessante, desse tipo aqui

y ' + p x y = r ( x )

A ideia aqui é resolver essa equação usando a técnica do fator integrante

Precisamos achar nosso fator integrante

μ x = e ∫ p x d x

Beleza? Com nosso fator, podemos ir direto para nossa solução y ( x ) :

μ x . y x = ∫ μ x . r x d x + C

E com a solução na mão, podemos aplicar a condição inicial e determinar nossa constante C ! Tranquilo?

x t !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' + 2 t y = cos ⁡ t t 2

Fazendo uma comparação temos que

p t = 2 t

E

r t = cos ⁡ t t 2

Vamos encontrar nosso fator integrante

μ t = e 2 ∫ d t t = e 2 ln ⁡ t

= e ln ⁡ t 2 = t 2

Tudo bem?

Agora nossa solução é

μ t . y t = ∫ μ t . r t d t + C

t 2 y = ∫ t 2 . cos ⁡ t t 2 d t + C

t 2 y = ∫ cos ⁡ t   d t + C

Precisamos resolver a integral

t 2 y = - sin ⁡ t + C

Tudo bem?

Passo 3

Agora precisamos aplicar a condição de contorno

y π = 0

t 2 y = - sin ⁡ t + C

π 2 . 0 = - sin ⁡ π + C

C = 0

Beleza?

Aí vamos retomar nossa solução

t 2 y = - sin ⁡ t + C

y = - sin ⁡ t t 2

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = - sin ⁡ t t 2

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