Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Indique qual a resposta correta para a solução geral de uma EDL não homogênea a saber: d y d x + y   = sen ⁡ x

( )   2 e - x   -   4 c o s ( 4 x ) + 2 e x  

( X )   C 1 e - x + 1 2 ( s e   n x - c o s x )

( ) C 1 e - x - C 2 e 4 x - 2 e x

( ) C 1 e - x - C 2 e 4 x   + 2 sen ⁡ x  

( ) C 1 e x - C 2 e 4 x + 2 e x  

Passo 1

Fala aí!! Vamos começar a resolver a Equação diferencial que a questão pediu. Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea, que é o mesmo que igualar a equação a zero, lembra?

d y d x + y = 0

Vamos ver a equação caractéristica dela:

r + 1 = 0 → r = - 1

Bom, a solução da equação homogênea vai ser:

y h = C 1 e - x

Beleza, agora vamos calcular a solução particular. Como temos um sen ⁡ x   no resultado, então podemos testar como solução particular a seguinte expressão:

y p = A sen ⁡ x   + B cos ⁡ x

Aí a gente substitui na equação para descobrirmos os valores de A   e   B que são as constantes da solução. Vamos então substituir na equação:

A cos ⁡ x - B sen ⁡ x + A sen ⁡ x   + B cos ⁡ x = sen ⁡ x

Agora vamos igualar os termos com sen ⁡ x e com cos ⁡ x :

A cos ⁡ x + B cos ⁡ x = 0 → A + B = 0

A - B sen ⁡ x = sen ⁡ x → A - B = 1

Então, ficamos com:

A + B = 0

A - B = 1

Se a gente somar essas duas expressões, teremos:

2 A = 1 → A = 1 2

Agora podemos substituir na primeira para acharmos o valor de B .

1 2 + B = 0 → B = - 1 2

Agora que já sabemos os valores de A e B , podemos substituir na solução particular e encontrar a solução geral:

y p = 1 2 sen ⁡ x - 1 2 cos ⁡ x = 1 2 ( sen ⁡ x - cos ⁡ x )

Na solução geral, vai ficar:

y x = y h + y p

y x = C 1 e - x + 1 2 sen ⁡ x - cos ⁡ x

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Resposta

y x = C 1 e - x + 1 2 sen ⁡ x - cos ⁡ x

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