Nos problemas abaixo indique o intervalo que contém a condição inicial no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de 1 ° ordem são verdadeiras:

2 .   y ' + t g ( t ) y = s e n ( t ) y π = 0

Passo 1

E aí gente, tudo na paz?

Então, nessa questão recebemos um problema de valor inicial (PVI) dado por:

y ' + t g t y = s e n t y π = 0

E, precisamos determinar o intervalo, que contenha a condição inicial y π = 0 , no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade é verdadeiro. Vocês lembram o que diz esse teorema?

Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:

d y d t = f ( y , t )

Se f ( y , t ) e ∂ f ∂ y são contínuas em um intervalo, então existe um intervalo I em que há uma única y ( t ) solução do PVI.

Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos f e ∂ f / ∂ y contínuas, para a partir daí selecionarmos o intervalo I que contém a solução inicial.

Vem comigo que vai ficar bem claro 😉

Passo 2

Bom, antes de mais nada, vamos deixar a nossa equação diferencial na mesma carinha da equação diferencial do teorema. Ou seja:

y ' + t g t y = s e n t

∴ y ' = s e n t - t g t y

Logo:

d y d t = f t , y = s e n t - y t g ( t )

Prontinho, essa é a nossa função f .

Daí agora precisamos analisar onde ela é contínua , como também onde a sua derivada parcial é contínua.

Passo 3

Vamos começar analisando a continuidade de f . Para isso vamos observar a sua lei de formação:

f t , y = s e n t - y t g ( t )

Nessa expressão, o único problema que pode surgir é na função t g ( t ) . Pois, a função tangente possui descontinuidade em k π 2 . Assim, o intervalo em que f é contínua está sempre entre:

k π 2 , k + 1 π 2

onde k ∈ Z .

Vamos ver agora a sua derivada parcial com relação a y :

∂ f ∂ y =   - t g ( t )

Opaa, ainda temos o mesmo probleminha. Logo, o intervalo em que ∂ f / ∂ y é contínua também é do tipo:

k π 2 , k + 1 π 2

Show! Então precisamos combar esse intervalor com a condição inicial dada:

y π = 0

Ou seja, nosso intervalo I precisa respeitar as restrições de f e ∂ f ∂ y , bem como conter o ponto t = π .

Logo:

I = π 2 , 3 π 2

Prontinho!! Até a próxima gente 😊

Resposta

I = π 2 , 3 π 2

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