Nos problemas abaixo indique o intervalo que contém a condição inicial no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de 1 ° ordem são verdadeiras:

3 .     4 - t 2 y ' + 2 t y = 3 t 2 y - 3 = 1

Passo 1

Ooi pessoal, tudo bem com vocês?

Então, nessa questão recebemos um problema de valor inicial (PVI) dado por:

4 - t 2 y ' + 2 t y = 3 t 2 y - 3 = 1

E, precisamos determinar o intervalo, que contenha a condição inicial y - 3 = 1 , no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade é verdadeiro. Vocês lembram o que diz esse teorema?

Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:

d y d t = f ( y , t )

Se f ( y , t ) e ∂ f ∂ y são contínuas em um intervalo, então existe um intervalo I em que há uma única y ( t ) solução do PVI.

Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos f e ∂ f / ∂ y contínuas, para a partir daí selecionarmos o intervalo I que contém a solução inicial.

Vem comigo que vai ficar bem claro 😉

Passo 2

Bom, pra começar precisamos deixar a nossa equação diferencial na mesma carinha da equação diferencial do nosso teorema. Assim:

4 - t 2 y ' + 2 t y = 3 t 2

∴ 4 - t 2 y ' = 3 t 2 - 2 t y

⇒ d y d t = f t , y = 3 t 2 - 2 t y 4 - t 2

Perfeito! Determinamos a nossa função f do teorema.

Agora precisamos apenas analisar o intervalo em que f e ∂ f ∂ y são contínuas.

Passo 3

Vamos começar avaliando o intervalo em que f ( t , y ) é contínua:

f t , y = 3 t 2 - 2 t y 4 - t 2

Analisando essa função, a grande restrição que temos para a continuidade está no denominador. Pois, ele precisa ser diferente de zero. Assim:

4 - t 2 ≠ 0

4 ≠ t 2

∴ t ≠ ± 2

Portanto, o nosso intervalo de continuidade de f está em R - - 2 ,   2 .

Agora analisando a derivada parcial:

∂ f ∂ y = d 3 t 2 - 2 t y 4 - t 2 d y

Ajeitando um pouquinho essa fração, ficamos com:

3 t 2 - 2 t y 4 - t 2 = 3 t 2 4 - t 2 - 2 t 4 - t 2 ⋅ y

Daí, fazendo a derivada com relação a y , o termo que não depende de y é uma constate e sua derivada é nula. Já no termo que depende, vamos ter:

∂ f ∂ y =   - 2 t 4 - t 2

Olha que interessante... obtivemos outra função, porém a restrição continua sendo no denominador. Ou seja:

4 - t 2 ≠ 0

t ≠ ± 2

Logo, o intervalo de continuidade da derivada parcial é o mesmo de f . Portanto R - { - 2,2 } .

Assim, vamos combar esse intervalo com um intervalo que contenha a condição inicial:

y - 3 = 1

Ou seja, precisa conter o ponto t = - 3 . Assim:

I = ( - ∞ ,   - 2 )

E é isso aí galera! Obrigado pela atenção e até a próxima 😉

Resposta

I = ( - ∞ ,   - 2 )

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