Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:

x y ' + 4 y = x 3 - x

Passo 1

Vamos começar deixando essa derivada y ' sozinha na equação. Para isso, dividimos tudo por x :

x y ' + 4 y = x 3 - x

y ' + 4 x y = x 2 - 1

Opa. Repare que temos aqui uma função na forma:

y ' + A x y = B x

Isso significa que temos uma EDO Linear. Então, teremos solução na forma:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Sendo I x nosso fator integrante com: I x = e ∫ A x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, comparando

y ' + 4 x y = x 2 - 1

com a forma geral:

y ' + A x y = B x

Vemos:

A x = 4 x B x = x 2 - 1

Passo 3

Determinadas as expressões, vamos encontrar:

∫ A x d x = ∫ 4 x d x = 4 ln ⁡ x

Assim mesmo, sem a constante. Ela vai aparecer na solução geral.

Passo 4

A partir dessa integral, podemos determinar o valor integrante: I x = e ∫ A x d x = e 4 ln ⁡ x

Bem, antes de sair cortando o log com a exponencial, temos que ter cuidado com esse 4 multiplicando. Para dar um jeito nele, usamos a propriedade do peteleco: 4 ln ⁡ x = ln ⁡ x 4

Agora sim, podemos cortar: I x = e ln �� x 4 = x 4

Passo 5

Olhamos agora para nossa solução geral novamente:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Já calculamos o fator integrante. Agora podemos determinar: ∫ I x B x d x

Substituindo as expressões temos: ∫ I x B x d x = ∫ x 4 ⋅ x 2 - 1 d x = ∫ x 6 d x - ∫ x 4 d x

= x 7 7 - x 5 5

Passo 6

Pronto! Agora já temos tudo que precisamos e basta substituir na solução geral: y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C  

y x = 1 x 4 x 7 7 - x 5 5 + C

Podemos simplificar, ficando: y x = x 3 7 - x 5 + C x 4

Vai ficar aparecendo mesmo essa constante, pois o problema não nos forneceu os valores iniciais 😊.

Resposta

y x = x 3 7 - x 5 + C x 4

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