Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Seja a equação diferencial 2 d y d x + 3 y = e - x . Qual dentre as opções abaixo não é uma solução da equação diferencial proposta, sabendo que y=f(x) ?

( )   y = e - x + 2 . e - 3 2 x

( ) y = e - x + e - 3 2 x  

( )   y = e - x

( ) y = e x

( ) y = e - x + C . e - 3 2 x  

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que a gente encontre qual letra não é solução da equação diferencial, certo? Bom, quando a gente calcula uma solução de uma equação diferencial, a gente sabe que qualquer combinação linear também é uma solução, certo?

Agora, vamso dar uma olhada na última opção:

y = e - x + C . e - 3 2 x

Concorda comigo que a 1ª, a 2ª e a 3ª opções são combinações lineares dessa última opção? Ora, basta substitui a constante C por 2 para chegar na primeira, por 1 para chegar na 2ª e por 0 para chegar na terceira. Então, se a última opção for solução da nossa equação diferencial, as opção 1, 2 e 3 também serão. Vamos testar isso aí, então? Basta substituir a última opção na nossa equação.

2 - e - x - 3 2 C e - x + 3 e - x + C . e - 3 2 x =

- 2 e - x - 3 C e - 3 2 x + 3 e - x + 3 C e - 3 2 x = e - x

Deu o resultado que a gente esperava e - x . Logo essa última opção é solução. Logo, todas as combinações lineares também são.

É importante usar essa propriedade para ganhar tempo e não precisar testar todas as opções para saber qual não é a solução. Desse jeito, a gente só precisou testar uma opção, né?

Com isso, a única que não é solução é a 4ª opção: y = e x

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Resposta

y = e x

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