Resolva cada um dos seguintes problemas de valores iniciais. Para isso encontre uma primitiva que seja solução da equação diferencial dada e imponha as condições dadas de modo de determinar a constante de integração do caso geral.

t 2 - 3 t + 2 d x d t = 1 ,   x = x t ,   t > 2   c o m   x 3 = 0  

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

t 2 - 3 t + 2 d x d t = 1 ,   x = x t ,   t > 2   c o m   x 3 = 0  

Bom, para resolvermos, vamos montar ajeitar a nossa fórmula:

t 2 - 3 t + 2 d x d t = 1

d x d t = 1 t 2 - 3 t + 2

Agora vamos montar o nosso sistema:

d x d t = 1 t 2 - 3 t + 2 x 3 = 0

Show, agora vamos conseguir calcular.

Passo 2

Vamos começar a calcular:

d x d t = 1 t 2 - 3 t + 2 x 3 = 0

Antes, vamos pegar somente a nossa derivada:

d x d t = 1 t 2 - 3 t + 2

d x = 1 t 2 - 3 t + 2 d t

Integrando os dois lados:

x = ∫ 1 t 2 - 3 t + 2 d t

Para resolvermos, vamos ter que completar o quadrado do denominador:

t 2 - 3 t + 2 = t 2 - 3 t + 2 + 1 4 - 1 4

t 2 - 3 t + 2 + 1 4 - 1 4 = t 2 - 3 t + 9 4 - 1 4 = t - 3 2 2 - 1 4

Substituindo:

x = ∫ 1 t 2 - 3 t + 2 d t = ∫ 1 t - 3 2 2 - 1 4 d t

Passo 3

Ok, com a integral que achamos, vamos aplicar o método da substituição:

∫ 1 t - 3 2 2 - 1 4 d t

Vamos dizer que:

u = t - 3 2 → d u = d t

Substituindo:

∫ 1 u ² - 1 4 d u = ∫ 4 4 u 2 - 1 d u = 4 ∫ 1 4 u 2 - 1 d u

Ok, mas agora temos mais uma integral que precisamos trabalhar.

Passo 4

Para sairmos daquela integral, vamos de novo ter que usar o método da substituição. Mas para isso, a gente precisa arrumar uma forma de sumir com aquele 4 que acompanha o u ² .

4 ∫ 1 4 u 2 - 1 d u

Vamos dizer que:

u = v 2 → d u = 1 2 d v

Substituindo:

4 ∫ 1 4 u 2 - 1 d u = 4 ∫ 1 4 v 2 2 - 1 d v 2   = 2 ∫ 1 v ² - 1 d v

Ok, mas resolver, temos que fazer aquele v ² ficar com sinal contrário, então:

2 ∫ 1 v ² - 1 d v = 2 ∫ - 1 - v 2 + 1 d v = - 2 ∫ 1 - v 2 + 1 d v

Opa, chegamos a um resultado tabelado:

- 2 ∫ 1 - v 2 + 1 d v = - 2 ln ⁡ v + 1 2 - ln ⁡ v - 1 2

Logo:

4 ∫ 1 4 u 2 - 1 d u = ln ⁡ v + 1 - ln ⁡ v - 1

Mas ainda não acabamos, lembre-se que temos que voltar para o valor de t

ln ⁡ v + 1 - ln ⁡ v - 1 = ln ⁡ 2 u + 1 - ln ⁡ 2 u - 1

Al��m disso, lembre-se que u = t - 3 2 :

ln ⁡ 2 u + 1 - ln ⁡ 2 u - 1 = ln ⁡ 2 t - 2 - ln ⁡ 2 t - 4 + C

Passo 5

Ok, achamos o valor da nossa integral, mas lembra que temos 1 PVI lá no Passo 1?

d x d t = 1 t 2 - 3 t + 2 x 3 = 0

Já descobrimos que:

x t = ln ⁡ 2 t - 2 - ln ⁡ 2 t - 4 + C

Então:

x 3 = ln ⁡ 6 - 2 - ln ⁡ 6 - 4 + C = 0

C = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 4

C = ln ⁡ 1 2

Logo:

x t = ln ⁡ t - 1 t - 2 + ln ⁡ 1 2

Resposta

x t = ln ⁡ t - 1 t - 2 + ln ⁡ 1 2

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