Resolva cada um dos seguintes problemas de valores iniciais. Para isso encontre uma primitiva que seja solução da equação diferencial dada e imponha as condições dadas de modo de determinar a constante de integração do caso geral.

t + 1 d x d t = x 2 + 1 ,   x = x t ,   t > - 1   c o m   x 0 = π 4  

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

t + 1 d x d t = x 2 + 1 ,   x = x t ,   t > - 1   c o m   x 0 = π 4  

Bom, para resolvermos, vamos montar ajeitar a nossa fórmula:

t + 1 d x d t = x 2 + 1

Vamos jogar tudo o que é x para a esquerda e tudo o que é t para a direita:

1 x 2 + 1 d x = 1 t + 1 d t

Agora, vamos integrar os dois lados:

∫ 1 x 2 + 1 d x = ∫ 1 t + 1 d t

Passo 2

Show, agora podemos calcular as nossas integrais:

∫ 1 x 2 + 1 d x = ∫ 1 t + 1 d t

a r c t a n ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( t + 1 )

Como queremos o valor de x :

x = tan ⁡ ln ⁡ t + 1 + C

Show, mas ainda não acabamos.

Passo 3

O enunciado nos da um PVI. Então, vamos montar aqui o nosso sistema:

x ( t ) = tan ⁡ ln ⁡ t + 1 + C x 0 = π 4

Substituindo:

x 0 = tan ⁡ ln ⁡ 0 + 1 + C = π 4

x 0 = tan ⁡ ln ⁡ 1 + C = π 4

tan ⁡ 0 + C = π 4

C = π 4

Então:

x ( t ) = tan ⁡ ln ⁡ t + 1 + π 4

Resposta

x ( t ) = tan ⁡ ln ⁡ t + 1 + π 4

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