Resolva cada um dos seguintes problemas de valores iniciais. Para isso encontre uma primitiva que seja solução da equação diferencial dada e imponha as condições dadas de modo de determinar a constante de integração do caso geral.

d y d x = ( y + 1 ) ² s e n ( x ) ,   y = y x ,   x > 2   c o m   y π 2 = 0  

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

d y d x = ( y + 1 ) ² s e n ( x ) ,   y = y x ,   x > 2   c o m   y π 2 = 0  

Bom, para resolvermos, vamos montar ajeitar a nossa fórmula:

d y d x = ( y + 1 ) ² s e n ( x )

Vamos jogar tudo o que é y para a esquerda e tudo o que é x para a direita:

1 y + 1 2 d y = s e n ( x ) d x

Agora, vamos integrar os dois lados:

∫ 1 y + 1 2 d y = ∫ s e n ( x ) d x

Passo 2

Show, agora podemos calcular as nossas integrais:

∫ 1 y + 1 2 d y = ∫ s e n ( x ) d x

Começando pela integral envolvendo y . Vamos fazer uma substituição:

u = y + 1 → d u = d y

Substituindo:

∫ 1 y + 1 2 d y = ∫ 1 u 2 d u

∫ 1 u 2 d u = - 1 u

Voltando para y :

∫ 1 y + 1 2 d y = - 1 y + 1

Show, mas ainda não acabamos.

Passo 3

Agora vamos calcular a integral da parte de x

∫ 1 y + 1 2 d y = ∫ s e n ( x ) d x

- 1 y + 1 = ∫ s e n ( x ) d x

Resolvendo a integral de x :

- 1 y + 1 = - cos ⁡ x + C

1 y + 1 = cos ⁡ x - C

Agora vamos isolar o y :

1 y + 1 = cos ⁡ x - C

1 cos ⁡ x - C = y + 1

y x = 1 cos ⁡ x - C - 1

Fazendo o MMC:

y x = 1 cos ⁡ x + C - cos ⁡ x - C cos ⁡ x - C

y x = 1 - cos ⁡ x + C cos ⁡ x - C

Passo 4

O enunciado nos da um PVI. Então, vamos montar aqui o nosso sistema:

y ( x ) = 1 - cos ⁡ x + C cos ⁡ x - C y π 2 = 0

Substituindo:

y π 2 = 1 - cos ⁡ π 2 + C cos ⁡ π 2 - C = 0

y π 2 = 1 - 0 + C 0 ⁡ - C = 0

y π 2 = 1 + C - C = 0

Como temos uma divisão e o resultado da 0 , então vamos olhar somente para o numerador:

1 + C = 0 → C = - 1

Então:

y x = 1 - cos ⁡ x - 1 cos ⁡ x + 1

y x = - cos ⁡ x cos ⁡ x + 1

Resposta

y x = - cos ⁡ x cos ⁡ x + 1

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