Resolva a equação diferencial dada

b ) y ' = x 2 y ( 1 + x 3 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

y ' = x 2 y 1 + x 3

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E agora?

Com isso vamos trocar y ' = d y d x , passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução em termos da constante mesmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' = x 2 y 1 + x 3

Separando as variáveis

y y ' = x 2 ( 1 + x 3 )

Vamos trocar y ' = d y d x

y d y d x = x 2 ( 1 + x 3 )

E separar por fim

y   d y = x 2 ( 1 + x 3 ) d x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

y   d y = x 2 ( 1 + x 3 ) d x

∫ y   d y = ∫ x 2 ( 1 + x 3 ) d x

Do lado direito vamos chamar de u = 1 + x 3 , assim d u = 3 x 2 d x e aplicar substituição simples

Ah! Não esquece do + C

y 2 2 = 1 3 ∫ d u u + C

y 2 2 = 1 3 ln ⁡ ( 1 + x 3 ) + C

Beleza?

Temos nossa solução implícita! Agora isolando y temos

y 2 = 2 3 ln ⁡ ( 1 + x 3 ) + 2 C

E tirando a raiz

y = ± 2 3 ln ⁡ ( 1 + x 3 ) + 2 C

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = ± 2 3 ln ⁡ ( 1 + x 3 ) + 2 C

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