Resolva a equação diferencial dada

d ) y ' = ( 3 x 2 - 1 ) ( 3 + 2 y )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

y ' = 3 x 2 - 1 3 + 2 y

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E agora?

Com isso vamos trocar y ' = d y d x , passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução em termos da constante mesmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y ' = 3 x 2 - 1 3 + 2 y

Separando as variáveis

y ' 3 + 2 y = 3 x 2 - 1

Vamos trocar y ' = d y d x

1 3 + 2 y d y d x = 3 x 2 - 1

E separar por fim

1 3 + 2 y   d y = 3 x 2 - 1 d x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

1 3 + 2 y   d y = 3 x 2 - 1 d x

∫ 1 3 + 2 y   d y = ∫ 3 x 2 - 1 d x

Do lado esquerdo vamos chamar u = 3 + 2 y e assim d u = 2 d y , aí podemos usar substituição simples

Ah! Não esquece do + C

1 2 ∫ d u u = x 3 - x + C

ln ⁡ ( 3 + 2 y ) = 2 x 3 - 2 x + 2 C

Beleza? Temos nossa solução implícita!

Agora isolando y temos

ln ⁡ ( 3 + 2 y ) = 2 x 3 - 2 x + 2 C

3 + 2 y = e 2 x 3 - 2 x + 2 C

2 y = e 2 x 3 - 2 x + 2 C - 3

E isolando y

y = 1 2 e 2 x 3 - 2 x + 2 C - 3

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = 1 2 e 2 x 3 - 2 x + 2 C - 3

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