Resolva a equação diferencial dada

f )   x y ' = 1 - y 2 1 / 2  

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial aqui

x y ' = 1 - y 2 1 2  

Para resolvê-la vamos separar as variáveis: de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y

E agora?

Com isso vamos trocar y ' = d y d x , passar os diferenciais cada um pra um lado e integrar!

Beleza? Integrando vamos imediatamente colocar + C ! E aí teremos uma solução implícita! Para obter uma solução explicitamente

y = y ( x )

É só isolar y !

Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução em termos da constante mesmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

x y ' = 1 - y 2 1 2  

Separando as variáveis

y ' 1 - y 2 1 2 = 1 x

Vamos trocar y ' = d y d x

1 1 - y 2 1 2     d y d x = 1 x

E separar por fim

1 1 - y 2 1 2   d y = d x x

Beleza?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora integrando dos dois lados

1 1 - y 2 1 2   d y = d x x

∫ 1 1 - y 2 1 2   d y = ∫ d x x

Do lado esquerdo temos a integral do arco seno! Já do lado direito temos o logaritmo natural. Ah!

Não esquece do + C

arcsin ⁡ y = ln ⁡ x + C

Beleza?

Temos nossa solução implícita! Agora isolando y : aplicar seno dos dois lados

sin  arcsin ⁡ y = sin ⁡ ln ⁡ x + C

y = sin ⁡ ln ⁡ x + C

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = sin ⁡ ln ⁡ x + C

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