Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

(b) y ' + y   l n   y = y   e x

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver a equação diferencial

y ' + y   l n   y = y   e x

fazendo uma substituição adequada para simplificar essa resolução. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a equação diferencial

y ' + y   l n   y = y   e x

ela também pode ser escrita da forma:

y ' y +   l n   y =   e x

temos a função l n   y aparecendo no segundo termo, então vamos tentar a substituição:

u = l n   y

Assim,

u ' = y ' y .

Substituindo na equação:

u ' + u = e x

Chegamos em uma equação diferencial do tipo

d u d x + P ( x ) u = Q ( x )

Esse tipo de equação já possui uma solução padrão, então nossa substituição foi bem sucedida.

Passo 3

Temos que a solução para a equação

d u d x + P ( x ) u = Q ( x )

É dada por

u = e - ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C )

Então vamos calcular as integrais,

∫ P ( x ) d x = ∫ 1   d x = x

Assim,

e - ∫ P ( x ) d x = e - x

e

∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x = ∫ e x e x d x = ∫ e 2 x d x = e 2 x 2

Voltando temos,

u = e - x ( e 2 x 2 + C ) = e x 2 + C   e - x

Passo 4

Então para voltar ao problema inicial lembramos que u = l n   y , assim

l n   y = e x 2 + C   e - x .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l n   y = e x 2 + C   e - x .

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