Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

(c)   y d x   +   ( 1   +   y e x   ) d y   =   0

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver a equação diferencial

y d x   +   ( 1   +   y e x   ) d y   =   0

fazendo uma substituição adequada para simplificar essa resolução. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a equação diferencial

y d x   +   ( 1   +   y e x   ) d y   =   0

temos a função ( 1   +   y e x   ) aparecendo no segundo termo, então vamos tentar a substituição:

u = ( 1   +   y e x   )

Assim,

y = ( u - 1 ) e - x

derivando

d y = d u   e - x - ( u - 1 ) e - x d x

Substituindo na equação:

( u - 1 ) e - x d x + u ( d u   e - x - ( u - 1 ) e - x d x ) = 0

Chegamos em uma equação diferencial do tipo

u d u   - ( u - 1 ) 2 d x = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis.

Passo 3

Temos que a solução para a equação

u d u   - ( u - 1 ) 2 d x = 0

Pode ser obtida pelo método da separação de variáveis:

u d u = ( u - 1 ) 2 d x

u ( u - 1 ) 2 d u = d x

Integrando de ambos os lados

∫ u ( u - 1 ) 2 d u = ∫ d x

Assim, por substituição simples w = u - 1

∫ u ( u - 1 ) 2 d u = ∫ ( w + 1 ) w - 2 d w = ∫ ( 1 w + w - 2 ) d w = l n   w   - 1 w = l n   ( u - 1 ) - 1 u - 1

Voltando temos,

l n   ( u - 1 ) - 1 u - 1 = x + C

Passo 4

Então para voltar ao problema inicial lembramos que u = ( 1   +   y e x   ) , assim

l n   ( y e x ) - 1 y e x = x + C .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l n   ( y e x ) - 1 y e x = x + C .

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