Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

(d)   ( 2   +   e - x y )   d x   +   2   ( 1   −   x y )   d y   =   0

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver a equação diferencial

  ( 2   +   e - x y )   d x   +   2   ( 1   −   x y )   d y   =   0

fazendo uma substituição adequada para simplificar essa resolução. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a equação diferencial

  ( 2   +   e - x y )   d x   +   2   ( 1   −   x y )   d y   =   0

temos a função x y aparecendo em dois lugares da equação, então vamos tentar a substituição:

u = x y

Assim,

x = u   y

derivando

d x = u   d y + y   d u

Substituindo na equação e fazendo algumas manipulações:

  ( 2   +   e - u ) ( u   d y + y   d u )   +   2   ( 1   −   u ) d y = 0

  ( u   e - u + 2 ) d y + ( 2   +   e - u ) y d u =   0

( u   e - u + 2 ) d y + ( 2   +   e - u ) y d u = 0

d y y + ( 2 e u   +   1 ) u + 2 e u d u = 0

Chegamos em uma equação diferencial do tipo

d y y = - ( 2 e u   +   1 ) u + 2 e u d u

Esse tipo de equação pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis.

Passo 3

Temos que a solução para a equação

d y y + ( 2 e u   +   1 ) u + 2 e u d u = 0

Pode ser obtida pelo método da separação de variáveis:

d y y = - ( 2 e u   +   1 ) u + 2 e u d u

Integrando de ambos os lados

∫ d y y = - ∫ ( 2 e u   +   1 ) u + 2 e u d u

Assim, por substituição simples w = u + 2 e u

- ∫ ( 2 e u   +   1 ) u + 2 e u d u = - ∫ 1 w d w = l n   w - 1 = l n   ( 1 u + 2 e u )

Voltando temos,

l n   y = l n   ( 1 u + 2 e u ) + C

Passo 4

Então para voltar ao problema inicial lembramos que u = x y , assim

l n   y = l n   ( 1 x y + 2 e x y ) + C .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l n   y = l n   ( 1 x y + 2 e x y ) + C .

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