Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

(g)   2 y y ′   +   x 2   +   y 2   +   x   =   0

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver a equação diferencial

  2 y y ′   +   x 2 +   y 2   +   x   =   0

fazendo uma substituição adequada para simplificar essa resolução. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a equação diferencial

  2 y y ′   +   x 2   +   y 2   +   x   =   0

temos a função y 2 aparecendo no terceiro termo, então vamos tentar a substituição:

u = y 2

Assim,

u ' = 2   y   y ' .

Substituindo na equação:

u ' + x 2 + u + x = 0

u ' + u = - ( x 2 + x )

Chegamos em uma equação diferencial do tipo

d u d x + P ( x ) u = Q ( x )

Esse tipo de equação já possui uma solução padrão, então nossa substituição foi bem sucedida.

Passo 3

Temos que a solução para a equação

d u d x + P ( x ) u = Q ( x )

É dada por

u = e - ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C )

Então vamos calcular as integrais,

∫ P ( x ) d x = ∫ 1   d x = x

Assim,

e - ∫ P ( x ) d x = e - x

e

∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x = - ∫ e x ( x 2 + x ) d x

Essa integral pode ser resolvida aplicando o método da integração por partes duas vezes sucessivas, então temos:

- ∫ e x ( x 2 + x ) d x = - ( e x x 2 - 2 e x x + 2 e x ) - ( e x x - e x ) = - e x x 2 + e x x - e x = ( x - x 2 - 1 ) e x

Voltando temos,

u = e - x ( ( x - x 2 - 1 ) e x + C ) = x - x 2 - 1 + C   e - x

Passo 4

Então para voltar ao problema inicial lembramos que u = y 2 , assim

y 2 = x - x 2 - 1 + C   e - x .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y 2 = x - x 2 - 1 + C   e - x .

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