Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

(h)     y   ′   =   y   +   x ( y   +   1 ) 2   +   1

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver a equação diferencial

y   ′   =   y   +   x ( y   +   1 ) 2   +   1

fazendo uma substituição adequada para simplificar essa resolução. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a equação diferencial

y   ′   =   y   +   x ( y   +   1 ) 2   +   1

Vamos tentar a substituição:

u = y + 1

Assim,

u ' = d y d x .

Substituindo na equação:

u '   - u   = u 2 x

Essa equação é do formato da equação de Bernoulli, e sabemos como resolvê-la.

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, fazemos

w = u 1 - n

w = u 1 - 2 = u - 1

Então,

d w d x = - u - 2 d u d x

d u d x = - 1 w 2 d w d x

Substituindo na equação

- 1 w 2 d w d x   - 1 w   = 1 w 2 x

d w d x   + w   = - x

Chegamos em uma equação diferencial do tipo

d w d x + P ( x ) w = Q ( x )

Esse tipo de equação já possui uma solução padrão, então nossa substituição foi bem sucedida.

Passo 4

Temos que a solução para a equação

d w d x + P ( x ) w = Q ( x )

É dada por

w = e - ∫ P ( x ) d x ( �� e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C )

Então vamos calcular as integrais,

∫ P ( x ) d x = ∫ 1   d x = x

Assim,

e - ∫ P ( x ) d x = e - x

e

∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x = - ∫ e x x d x

Resolvendo por integração por partes

- ∫ e x x d x = - x e x + e x

Voltando temos,

w = e - x ( - x e x + e x + C ) = - x + 1 + C   e - x

Passo 5

Então para voltar ao problema inicial lembramos que w = u - 1 , assim

u - 1 = - x + 1 + C   e - x .

E lembrando que u = y + 1

1 y + 1 = - x + 1 + C   e - x .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

1 y + 1 = - x + 1 + C   e - x .

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