Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

(j)     x 2 d y d x   +   2 x y   =   x 4   y 2   +   1

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver a equação diferencial

x 2 d y d x   +   2 x y   =   x 4   y 2   +   1

fazendo uma substituição adequada para simplificar essa resolução. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a equação diferencial

x 2 d y d x   +   2 x y   =   x 4   y 2   +   1

vamos tentar a substituição:

u = x 2 y

Assim, derivando

d u d x = x 2 d y d x + 2 x y

Substituindo na equação e fazendo algumas manipulações:

d u d x = u 2 + 1

Chegamos em uma equação diferencial do tipo

d u d x = u 2 + 1

Esse tipo de equação pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis.

Passo 3

Temos que a solução para a equação

d u d x = u 2 + 1

Pode ser obtida pelo método da separação de variáveis:

d u u 2 + 1 = d x

Integrando de ambos os lados

∫ d u u 2 + 1 = ∫   d x

Assim, resolvendo a integral simples e a já tabelada

a r c t g ( u ) = x + C

Passo 4

Então para voltar ao problema inicial lembramos que u = x 2 y , assim

a r c t g ( x 2 y ) = x + C .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a r c t g ( x 2 y ) = x + C .

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