Resolva o problema de valor inicial

y ' = 2 y 2 + x y 2 , y 0 = 1 .

E determine onde a solução atinge seu valor mínimo.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para usarmos a condição inicial y 0 = 1 para encontrarmos a solução da equação.

Mas como podemos fazer isso?

Como estamos estudando equações diferenciais, vamos manipular algebricamente a expressão dada com derivadas e integrais para, dessa forma, encontrarmos constantes.

Daí, vamos usar a condição inicial para encontrarmos a solução da equação, belezinha?

Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... temos que:

d y d x = y 2 ( 2 + x ) ∴

Se pudermos “separar” a equação, então podemos aplicar o método da separação de variáveis. Em outras palavras, isso significa, jogar tudo que tem x pra um lado e o que tem y pro outro.

d y y 2 = 2 + x d x ∴

Integrando, temos:

∫ d y y 2 = ∫ 2 + x d x ∴

- 1 y + c ' = 2 x + x 2 2 + c ' ' ∴

y = - 1 2 x + x 2 2 + c ∴

y = - 2 4 x + x 2 + c

Passo 3

Dessa forma, aplicando a condição inicial y 0 = 1 , temos:

1 = - 2 4 ( 0 ) + ( 0 ) 2 + c ∴

c = - 2

Dessa forma, o resultado é dado por:

y = - 2 4 x + x 2 - 2

Passo 4

Além disso, o valor mínimo da solução ocorrerá quando y ' = 0 . Portanto:

y ' = 2 y 2 + x y 2 ∴

2 y 2 + x y 2 = 0 ∴

y 2 2 + x = 0 ∴

x = - 2  

Assim, para x = - 2 , temos que y é:

y = - 2 4 - 2 + - 2 2 - 2 ∴

y = 1 3

Dessa forma, o mínimo é dado em x , y = - 2 , 1 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = - 2 4 x + x 2 - 2

x , y = - 2 , 1 3

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