1) Resolva os Problemas de Valor Inicial.

a) y ' + 1 - 2 x y = x e - x y 0 = 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos uma EDO linear de primeira ordem e nosso objetivo é obter a resposta de y sendo que y 0 = 2 .

Como fazemos isso? 👀

Uma equação diferencial de primeira ordem linear é uma equação na qual a função desconhecida y x e sua primeira derivada y ' x aparecem de forma linear, ou seja, podem ser expressas como combinações lineares de y x e y ' x .

Uma EDO linear de primeira ordem geralmente é escrita na forma:

y ' x + p x y x = q x

Onde p x e q x são funções conhecidas de x . A solução para essa EDO pode ser encontrada usando o método de fator integrante, que envolve multiplicar a equação por uma função apropriada para tornar a equação solúvel.

O fator integrante é dado por:

μ x = e ∫ p x d x

Multiplicando a equação por μ x , obtemos:

μ x y ' x + μ x p x y x = μ x q x

Que pode ser reescrito como:

d μ x y x d x = μ x q x

Integrando ambos os lados, obtemos:

μ x y x = ∫ μ ( x ) q ( x ) d x + C

Onde C é uma constante de integração. Dividindo ambos os lados por μ x , obtemos a solução geral da EDO linear de primeira ordem:

y x = ∫ μ x q x d x + C μ x

Onde μ x é o fator integrante e C é a constante de integração.

Sacou? Bora aplicar no nosso problema! 😁

Passo 2

Começando pelo fator de integração, se p x = 1 - 2 x e q x = x e - x , então

μ x = e ∫ p x d x

μ x = e ∫ 1 - 2 x d x

Integrando 1 - 2 x pelo método de integração polinomial, temos

∫ 1 - 2 x d x = x - x 2

Substituindo em μ x

μ x = e x - x 2

Por fim, aplicamos a fórmula

y x = ∫ μ x q x d x + C μ x

y x = ∫ e x - x 2 x e - x d x + C e x - x 2

Podemos reescrever e x - x 2 x e - x como

e x - x 2 x e - x = e x e - x 2 x e x

Assim podemos simplificar e x

y x = ∫ e - x 2 x d x + C e x - x 2

Integrando pelo método de substituição com u = - x 2 , obtemos que

∫ e - x 2 x d x = - e - x 2 2

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Substituindo o resultado em y x

y x = - e - x 2 2 + C e x - x 2

y x = - e - x 2 2 e x - x 2 + C e x - x 2

Simplificando um pouco mais

y x = - 1 2 1 e x + C e x - x 2

Essa é a solução geral dessa EDO, mas como foi dito que y 0 = 2 então

y 0 = - 1 2 1 e 0 + C e 0 - 0 2 = 2

- 1 2 + C = 2

C = 5 2

Portanto, a solução especifica desse problema é dada por

y x = - 1 2 1 e x + 5 2 1 e x - x 2

y x = - 1 2 1 e x - 5 1 e x - x 2

y x = - 1 2 e - x - 5 e - x + x 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y x = - 1 2 e - x - 5 e - x + x 2

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