1) Resolva os Problemas de Valor Inicial.

b) y ' = 2 x + 1 3 y 2 - 3 y 0 = 0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos uma EDO separável e temos que obter a solução dessa EDO sabendo que y 0 = 0 .

Tem ideia do que podemos fazer? 👀

Uma EDO separável é uma equação na qual as variáveis independentes e dependentes podem ser separadas em lados opostos da equação. Em outras palavras, a equação pode ser escrita na forma:

g y d y = f x d x

Onde g y e f x são funções conhecidas de y e x , respectivamente. Para resolver essa equação, basta integrar ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis.

Integrando ambos os lados, obtemos:

∫ g y d y = ∫ f x d x + C

Onde C é uma constante de integração. Essa é a solução geral da EDO separável.

Entendeu? Bora começar! 😉

Passo 2

No nosso caso, f x = 2 x + 1 e g y = 3 y 2 - 3 .

Substituindo y ' por d y d x , temos

y ' = 2 x + 1 3 y 2 - 3

d y d x = 2 x + 1 3 y 2 - 3

Separando as variáveis...

3 y 2 - 3 d y   = 2 x + 1 d x

Assim, integrando nos dois lados

∫ 3 y 2 - 3 d y   = ∫ 2 x + 1 d x

Pelo método de integração polinomial, temos

∫ 3 y 2 - 3 d y = y 3 - 3 y + C y

∫ 2 x + 1 d x = x 2 + x + C x

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Igualando os resultados...

y 3 - 3 y + C y = x 2 + x + C x

Condensando C y e C x em um lado da igualdade

y 3 - 3 y = x 2 + x + C

y 3 - 3 y - x 2 - x = C

Essa é a solução geral do problema, mas como y 0 = 0 , então

0 3 - 3 0 - 0 2 - 0 = C

C = 0

Logo, a solução especifica é dada por

y 3 - 3 y - x 2 - x = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

y 3 - 3 y - x 2 - x = 0

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