1) Resolva os Problemas de Valor Inicial.

d) x l n x y ' = y y 3 = 4

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos uma EDO separável e temos que obter a solução dessa EDO sabendo que y 3 = 4 .

Tem ideia do que podemos fazer? 👀

Uma EDO separável é uma equação na qual as variáveis independentes e dependentes podem ser separadas em lados opostos da equação. Em outras palavras, a equação pode ser escrita na forma:

g y d y = f x d x

Onde g y e f x são funções conhecidas de y e x , respectivamente. Para resolver essa equação, basta integrar ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis.

Integrando ambos os lados, obtemos:

∫ g y d y = ∫ f x d x + C

Onde C é uma constante de integração. Essa é a solução geral da EDO separável.

Entendeu? Bora começar! 😉

Passo 2

No nosso caso f x = 1 x l n x e g y = 1 y .

Substituindo y ' por d y d x , temos

x l n x y ' = y

x l n x d y d x = y

Separando as equações

1 y d y = 1 x l n x d x

Integrando nos dois lados...

∫ 1 y d y = ∫ 1 x l n x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo

∫ 1 y d y = ln ⁡ y

∫ 1 x l n x d x = ln ⁡ ln ⁡ x

Portanto

ln ⁡ y = ln ⁡ ln ⁡ x + C

Elevando os dois lados por e

e ln ⁡ y = e ln ⁡ ln ⁡ x + C

y = ln ⁡ x e C

Como e C continua sendo uma constante, então fazemos e C = C

y = ln ⁡ x C

Se y 3 = 4 , então

y 3 = ln ⁡ 3 C = 4

C = 4 ln ⁡ 3

Por fim, a solução especifica da EDO é

y = 4 ln ⁡ 3 ln ⁡ x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y = 4 ln ⁡ 3 ln ⁡ x

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