Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:

1 .   y ' + 2 x y = y 3 x 3 y 1 = 1

Passo 1

Fala aí galera, tudo beleza?

Nessa questão recebemos o seguinte PVI:

y ' + 2 x y = y 3 x 3 y 1 = 1

E, precisamos resolvê-lo, identificando ainda o intervalo de validade da solução.

A grande dificuldade é que essa equação não é linear, e não conseguimos aplicar diretamente o raciocínio da resolução via fator integrante.

Maaaas, tem um tipo de EDO bem importante que são as “EDOs do tipo homogênea”. Calma pessoal, não estamos falando das EDO’s que o lado direito da equação na forma clássica é nulo.

As EDO’s do TIPO homogênea são equações em que vale:

y ' = F y x

O que no caso desse item é verdade, se liga só:

y ' = y 3 x 3 - 2 ⋅ y x

Então:

y ' = y x 3 - 2 y x

Excelente! Pra resolver esse tipo de EDO a ideia é fazer uma mudança de variáveis usando que:

y = v x

A partir daí mudamos a nossa EDO e caímos em uma equação separável.

Vem comigo que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Temos:

y ' = y x 3 - 2 y x

Queremos fazer a mudança:

y = v x

Logo:

y ' = v + x d v d x

Substituindo essas informações na equação, vem que:

v + x ⋅ d v d x = v 3 - 2 v

Logo:

x ⋅ d v d x = v 3 - 3 v

Assim:

1 v 3 - 3 v d v = 1 x d x

Olha que legal! Caímos numa equação separável!

Vamos resolvê-la.

Passo 3

Para resolver uma equação separável basta integrarmos dos dois lados da igualdade. Assim:

∫ 1 v 3 - 3 v d v = ∫ 1 x d x  

= ln ⁡ | x | + C

A integral da esquerda parece meio complicadinha. Então, vamos usar o seguinte:

1 v 3 - 3 v = 1 v ⋅ ( v 2 - 3 )

Mas, pela diferença de quadrados, temos:

1 v 3 - 3 v = 1 v ⋅ v - 3 ⋅ v + 3

Separando parcialmente essas frações, temos:

1 v ⋅ v - 3 ⋅ v + 3 = 1 v ⋅ 1 2 3 ⋅ 1 v - 3 - 1 v + 3

Que pode ser novamente separada como:

1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 1 v - 3 - 1 v - 1 v - 1 v + 3

= 1 6 ⋅ 1 v - 3 - 2 v + 1 v + 3

Substituindo na integral:

∫ 1 v 3 - 3 v d v = 1 6 ⋅ ∫ 1 v - 3 - 2 v + 1 v + 3

= 1 6 ⋅ ln ⁡ v - 3 - 2 ln ⁡ v + ln ⁡ v + 3

Substituindo na equação, vem:

ln ⁡ v - 3 - 2 ln ⁡ v + ln ⁡ v + 3 = 6 ⋅ ln ⁡ x + C

Usando a condição inicial dada no PVI:

y 1 = 1

Então:

v 1 = y 1 x 1 = 1

Logo:

ln ⁡ 1 - 3 + ln ⁡ 1 + 3 = C

= ln ⁡ 3 - 1 + ln ⁡ ( 3 + 1 ) = C

Usando a propriedade dos logaritmos:

C = ln ⁡ 3 - 1 3 + 1

= ln ⁡ 2

Portanto, substituindo C na nossa equação, bem como v por y / x , temos:

ln ⁡ y x - 3 - 2 ⋅ ln ⁡ y x + ln ⁡ y x + 3 = 6 ⋅ ln ⁡ x + ln ⁡ 2

Essa é a solução da nossa EDO.

Sobre o intervalo em que a solução é válida, pelo teorema da existência e unicidade, a solução apenas não será válida onde F y x e ∂ F y x não forem contínuas.

Devido ao termo x que aparece no denominador de ambas funções, o intervalo compreende todos os reais, exceto por x = 0 .

É isso galerinha! Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊

Resposta

ln ⁡ y x - 3 - 2 ⋅ ln ⁡ y x + ln ⁡ y x + 3 = 6 ⋅ ln ⁡ x + ln ⁡ 2

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