Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:

1 .   y ' = 2 x + 1 3 y 2 - 3 y 0 = 0

Passo 1

Fala aí galera, tudo tranquilo?

Nessa questão recebemos o seguinte problema de valor inicial (PVI):

y ' = 2 x + 1 3 y 2 - 3 y 0 = 0

E, sobre ele precisamos determinar a solução, o intervalo de validade dessa solução, como também o seu gráfico.

Ou seja, na prática precisamos resolver essa equação diferencial.

Bom, começando pelo intervalo de validade, pelo teorema da existência e unicidade precisamos verificar o intervalo em que:

f x , y = 2 x + 1 3 y 2 - 3

e ∂ f ∂ y são contínuas.

Pra determinar a solução da EDO devemos pensar nas técnicas que dispomos para resolvê-la. A começar pela EDO separável, se conseguirmos colocar de um lado da igualdade tudo que depende de y e do outro tudo que depende de x , temos uma equação separável.

y ' = 2 x + 1 3 y 2 - 3

d y d x = 2 x + 1 3 y 2 - 3  

Logo:

3 y 2 - 3 d y = 2 x + 1 d x

Excelente! Conseguimos!

Por fim, depois de encontrar a solução devemos esboçar o seu gráfico.

Vem com a gente que vai ficar tudo bem clarinho 😊

Passo 2

A come��ar pelo intervalo de validade da solução, temos:

f x , y = 2 x + 1 3 y 3 - 3

A única restrição nessa equação é o denominador que não pode ser nulo. Assim:

3 y 3 - 3 ≠ 0

∴ y 3 ≠ 1

⇒ y ≠ ± 1

Massa!

Já quanto à derivada parcial com relação a y , temos:

∂ f ∂ y = d 2 x + 1 3 y 3 - 3 d y

Pela regra da cadeia:

d 2 x + 1 3 y 3 - 3 d y = 2 x + 1 ⋅ - 1 ⋅ 3 y 3 - 3 - 2 ⋅ 9 y 2

= 2 x + 1 - 9 y 2 3 y 3 - 3 2

Olha que legal... novamente a restrição que temos está no denominador.

Precisamos eu:

3 y 3 - 3 ≠ 0

∴ y ≠ ± 1

Portanto, o nosso intervalo de validade é:

x , y ∈ R 2 y ≠ ± 1 }

Perfeito!

Passo 3

Pra resolver a EDO separável podemos integrar em ambos os lados. Assim:

∫ 3 y 2 - 3 d y = ∫ 2 x + 1 d x

Resolvendo a integral à direita, temos:

∫ 3 y 2 - 3 d y = y 3 - 3 y + C

E:

∫ 2 x + 1 d x = x 2 + x + D

Igualando as duas integrais, temos:

y 3 - 3 y + C = x 2 + x

Pra determinar o valor da constante C , precisamos usar a condição inicial:

y 0 = 0

Logo:

C = 0

Portanto temos:

y 3 - 3 y = x 2 + x

Essa equação define y implicitamente em função de x .

Excelente!

Passo 4

Por fim, precisamos esboçar o gráfico da nossa função y . Para isso, já que definimos ela apenas implicitamente, podemos usar o auxílio de um recurso computacional (como geogebra, desmos e outros tantos).

Vamos ter o seguinte gráfico:

Prontinho pessoal! Com isso matamos a questão!

Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima!

Resposta

Resposta no texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0