Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:

2 .   d y d t = y ( 100 - y ) y 0 = 1

Passo 1

Oiee galerinhaa, tudo na paz com vocês?

Nessa questão recebemos o seguinte problema de valor inicial (PVI):

d y d t = y 100 - y y 0 = 1

E, sobre ele precisamos determinar a solução, o intervalo de validade dessa solução, como também o seu gráfico.

Ou seja, na prática precisamos resolver essa equação diferencial.

Bom, começando pelo intervalo de validade, pelo teorema da existência e unicidade precisamos verificar o intervalo em que:

f ( t , y ) = y ( 100 - y )

e ∂ f ∂ y são contínuas.

Pra determinar a solução da EDO devemos pensar nas técnicas que dispomos para resolvê-la. A começar pela EDO separável, se conseguirmos colocar de um lado da igualdade tudo que depende de y e do outro tudo que depende de x , temos uma equação separável.

y ' = y ( 100 - y )

d y d t = y ( 100 - y )  

Logo:

1 y 100 - y d y = d t

Excelente! Conseguimos!

Por fim, depois de encontrar a solução devemos esboçar o seu gráfico.

Vem com a gente que vai ficar tudo bem clarinho 😊

Passo 2

Bom, começando pelo intervalo de validade, pelo teorema da existência e unicidade precisamos analisar a continuidade da função:

f t , y = y ( 100 - y )

Essa função não possui nenhuma restrição. Por isso, a princípio dizemos que y ( t ) é válida em todos os reais.

Passo 3

Agora vamos calcular a solução y t em si. Temos que:

d y d t = y 100 - y

∴ 1 y ( 100 - y ) d y = d t

Integrando em ambos os lados:

∫ 1 y 100 - y d y = ∫ d t

= t + C

onde C é uma constante nos reais.

Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos usar que:

1 y 100 - y = 1 100 ⋅ 1 y - 1 100 - y

Logo:

∫ 1 y 100 - y d y = 1 100 ∫ 1 y d y - ∫ 1 100 - y d y

⇒ 1 100 ⋅ ln ⁡ y - ln ⁡ 100 - y

= 1 100 ⋅ ln ⁡ y 100 - y

Daí, igualando ambos os resultados das integrais, vem que:

1 100 ⋅ ln ⁡ y 100 - y = t + C

Substituindo a condição inicial podemos determinar quanto vale a constante C :

y 0 = 1

∴ C = 1 100 ⋅ ln ⁡ 1 99

=   - 1 100 ⋅ ln ⁡ 99

Voltando à nossa equação, vamos tentar isolar y :

∴ y 100 - y = e 100 t + C

Logo, invertendo os termos:

100 y - 1 = e - 100 t + C  

Logo:

y = 100 1 + e - 100 t + C

Substituindo o valor de C ficamos com:

y = 100 1 + 99 ⋅ e - 100 t

E é isso gente, essa é a solução do nosso PVI.

Muito bom 😊

Passo 4

Por fim, podemos desenhar o gráfico dessa função. Para fazer isso, podemos usar recurso computacional (como Geogebra, desmos e outros). Daí, temos:

Prontinho! Com isso finalizamos a questão!

Espero que vocês tenham entendido a solução! Até a próxima galera 😊

Resposta

Resposta no texto.

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