1) Resolva os Problemas de Valor Inicial.

c) y ' - cos ⁡ t y = t e t 2 + s e n t y 0 = 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos uma EDO linear de primeira ordem e nosso objetivo é obter a resposta de y sendo que y 0 = 2 .

Como fazemos isso? 👀

Uma equação diferencial de primeira ordem linear é uma equação na qual a função desconhecida y t e sua primeira derivada y ' t aparecem de forma linear, ou seja, podem ser expressas como combinações lineares de y t e y ' t .

Uma EDO linear de primeira ordem geralmente é escrita na forma:

y ' t + p t y t = q t

Onde p t e q t são funções conhecidas de t . A solução para essa EDO pode ser encontrada usando o método de fator integrante, que envolve multiplicar a equação por uma função apropriada para tornar a equação solúvel.

O fator integrante é dado por:

μ t = e ∫ p t d t

Multiplicando a equação por μ t , obtemos:

μ t y ' t + μ t p t y t = μ t q t

Que pode ser reescrito como:

d μ t y t d t = μ t q t

Integrando ambos os lados, obtemos:

μ t y t = ∫ μ ( t ) q ( t ) d t + C

Onde C é uma constante de integração. Dividindo ambos os lados por μ t , obtemos a solução geral da EDO linear de primeira ordem:

y t = ∫ μ t q t d t + C μ x

Onde μ t é o fator integrante e C é a constante de integração.

Sacou? Bora aplicar no nosso problema! 😁

Passo 2

Como p t = - cos ⁡ t e q t =   t e t 2 + s e n t

Começando pelo fator integrante...

μ t = e ∫ p t d t

μ t = e ∫ - cos ⁡ t d t

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de cos ⁡ t é dado por

∫ - cos ⁡ t d t = - s e n t

Logo

μ t = e - s e n t

Substituindo em y t

y t = ∫ μ t q t d t + C μ x

y t = ∫ e - s e n t   t e t 2 + s e n t d t + C e - s e n t

Podemos reescrever e - s e n t   t e t 2 + s e n t como

e - s e n t   t e t 2 + s e n t = t e t 2 e s e n t e s e n t = t e t 2

Ou seja...

y t = ∫ t e t 2 d t + C e - s e n t

Pelo método de substituição em que u = t 2

∫ t e t 2 d t = e t 2 2

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Substituindo o resultado da integral em y t vamos obter a solução geral da EDO.

y t = e t 2 2 + C e - s e n t

y t = e t 2 + 2 C 2 e - s e n t

Como y 0 = 2 , então

y 0 = e 0 2 + 2 C 2 e - s e n 0 = 2

1 + 2 C 2 = 2

1 + 2 C = 4

C = 3 2

Substituindo em y t , a solução especifica será dada por

y t = e t 2 + 2 3 2 2 e - s e n t

y t = e t 2 + 3 2 e - s e n t

y t = e t 2 + 3 e s e n t 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

y t = e t 2 + 3 e s e n t 2

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Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0