Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme seja o caso:

  1. x y ' + y - x e x 2 = 0 ,     y 1 = e

Passo 1

Foi nos dada a condição y 1 = e , então temos aqui um problema de valor inicial. OK, mas vamos começar com a EDO associada:

x y ' + y - x e x 2 = 0

Vamos deixar a derivada sozinha na dela dividindo tudo por x : y ' + 1 x y - e x 2 = 0

E então jogamos a função solta de x para o outro lado da equação: y ' + 1 x y = e x 2

E olha só. Temos aqui funções apenas de x multiplicando y e também uma função apenas de x solta. Portanto, vamos ter uma EDO linear na forma:

y ' + A x y = B x

Sendo:

A x = 1 x , B x = e x 2

A EDO linear tem sempre solução na geral:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Em que I x é nosso fator integrante dado por:

I x = e ∫ A x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Legal, então vamos calcular o fator integrante:

I x = e ∫ A x d x = e ∫ 1 x d x = e ln ⁡ x = x

Deixamos assim sem nenhuma constante, porque ela já está aparecendo na fórmula da solução final.

Passo 3

Calculado o fator integrante, vamos encontrar a integral

∫ I x B x d x .

Substituindo o que temos: ∫ I x B x d x = ∫ x e x 2 d x

Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição:

u = x 2

d u = 2 x d x ⟹ d x = d u 2 x

Ficando

∫ x e x 2 d x = ∫ x e u ⋅ d u 2 x = 1 2 ∫ e u d u

= 1 2 e u = 1 2 e x 2 .

Passo 4

Legal, agora já dá para substituir o que achamos para encontrar a solução geral:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

y x = 1 x 1 2 e x 2 + C

y x = 1 2 x e x 2 + C x

Passo 5

Essa é a solução geral da EDO, como temos um problema de valor inicial, precisamos achar essa constante. Nos foi dado que: y 1 = e

Assim, teremos

y 1 = 1 2 ⋅ 1 e 1 + C 1 = e

1 2 e + C = e

C = e 2 .

OK. Então a solução do PVI vai ser

y x = e x 2 2 x + e 2 x

y x = 1 2 x e x 2 + e

Feshow.

Resposta

y x = 1 2 x e x 2 + e

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas