Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem

d y d x = y ' = f x = x ² e 4 x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

d y d x = x ² e 4 x

Vamos passar d x para a direita:

d y = x ² e 4 x d x

Agora, vamos integrar dos dois lados:

∫ d y = ∫ x ² e 4 x d x

y = ∫ x ² e 4 x d x

E para resolvermos a nossa integral, vamos ter que usar a integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Show, com isso, vamos começar a calcular:

y = ∫ x ² e 4 x d x

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos dizer que:

u = x 2 → d u = 2 x d x

d v = e 4 x → v = 1 4 e 4 x

Substituindo:

∫ x ² e 4 x d x = x 2 e 4 x 4 - ∫ e 4 x 4 2 x d x

∫ x ² e 4 x d x = x 2 e 4 x 4 - 1 2 ∫ e 4 x x d x

Show, na segunda integral, vamos aplicar de novo a integração por partes:

u = x → d u = d x

d v = e 4 x → v = 1 4 e 4 x

Substituindo:

∫ e 4 x x d x = x e 4 x 4 - ∫ e 4 x 4 d x

∫ e 4 x x d x = x e 4 x 4 - 1 4 ∫ e 4 x d x

∫ e 4 x x d x = x e 4 x 4 - e 4 x 16

Juntando tudo:

∫ x ² e 4 x d x = x 2 e 4 x 4 - 1 2 x e 4 x 4 - e 4 x 16

∫ x ² e 4 x d x = x 2 e 4 x 4 - x e 4 x 8 + e 4 x 32

Resposta

∫ x ² e 4 x d x = x 2 e 4 x 4 - x e 4 x 8 + e 4 x 32 + C

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