A solução da equação diferencial y ' = - y x , com x > 0 , e que passa pelo ponto 1,2 verifica:

(a) y x = 1 x + 1

(b) y x = 2 x

(c) Nenhuma das opções

(d) y x = 2 e - 2 x + 2

(e) y ( x ) é decrescente em 0 , ∞

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos uma EDO de primeira ordem.

Essa questão é bem rapidinha.

A EDO que foi dada no enunciado é dada por

y ' = - y x

E foi dito que y passa pelo ponto 1,2 , ou seja, temos aqui um problema de valor inicial.

A ideia principal é resolver a EDO e comparar o resultado que encontrarmos com as informações dadas nas alternativas.

Mas como vamos calcular essa EDO? 🤔

Quando temos uma EDO em que podemos separar os termos x e y em cada lado da equação, aplicamos o método de EDO separável onde depois de dividido, integramos dos dois lados e manipulamos os resultados para isolar y .

Entendeu? Veja só!

Passo 2

Podemos escrever a EDO como

d y d x = - y x

Passando tudo que tem y de um lado e tudo que tem x para o outro lado, temos

d y y = - d x x

Integrando dos dois lados, temos

∫ 1 y d y = - ∫ 1 x d x

ln ⁡ y = - ln ⁡ x + C

Passando os dois l n para um lado só

ln ⁡ y + ln ⁡ x = C

Por propriedade logarítmica, a soma de ln ⁡ y + ln ⁡ x é igual a ln ⁡ y x . Logo

ln ⁡ y x = C

Elevando os dois lados pela exponencial

e ln ⁡ y x = e C

Como e é o inverso de l n e e C ainda é uma constante, então

y x = C

Isolando y

y = C x

Pelo método da separação, obtemos a função y .

Passo 3

No enunciado, foi dito que y deve passar por 1,2 , dessa forma podemos definir C

Substituindo o ponto no resultado que encontramos, temos

2 = C 1

C = 2

Ou seja, nossa função é

y = 2 x

Analisando as opções, vemos que a única alternativa correta é a letra (e). podemos provar se plotarmos o gráfico de y para x > 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

(e) y ( x ) é decrescente em 0 , ∞

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Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0