Suponha que P ( x ) é contínua em algum intervalo I e a é um número em I. O que pode ser dito a respeito da solução do PVI y ' + P x y = 0 ,   y a = 0 ?

Passo 1

Olá galera, tudo bem por aí? Essa questão parece ser complicada, mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora lá? O problema deu essa equação diferencial aqui

y ' + P x y = 0

E perguntou o que pode ser dito sobre sua solução

Mas como assim, podemos dizer alguma coisa sobre a solução do problema sem saber efetivamente a cara desse problema? Sim! Podemos!

Temos um teorema para verificar se a solução é única!

Se tivermos uma equação diferencial do tipo

y ' = f ( x , y )

Se tanto f ( x , y ) quanto ∂ f ∂ y forem contínuas em um intervalo próximo do ponto inicial ( x 0 , y 0 ) , garantimos que existe solução y ( x ) que satisfaça a equação e ela é única!

Lembrando que esse ponto ( x 0 , y 0 ) deve estar dentro do intervalo de definição da solução

Agora que você já relembrou todos esses conceitos, partiu resolver o problema?

Relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora lá?

Passo 2

Nosso problema de valor inicial é o seguinte

y ' + P x y = 0 ,   y a = 0

Temos que P ( x ) é uma função contínua no intervalo que contém x = a , então já garantimos que a está no nosso intervalo de interesse!

Vamos isolar y '

y ' = - P ( x ) y

Nossa função f ( x , y ) é

f x , y = - P ( x ) y

Temos um produto de duas funções: P ( x ) é contínua porque o enunciado garante isso, e ( y ) também é porque é um polinômio. Sendo assim, como o produto de duas funções contínuas é outra função contínua, temos que f ( x , y ) é contínua!

Primeiro critério satisfeito com sucesso!

Agora o segundo

f x , y = - P ( x ) y

∂ f ∂ y = - P ( x )

A derivada parcial de f em relação a y também é contínua! Então o segundo critério também foi satisfeito, portanto a solução do PVI em torno de x = a existe e é única!

E é isso! Terminamos! Vamos treinar mais?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0