Suponha que e x é uma solução da equação y ' + p x y = 0 . Determine a solução geral da equação.

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação aqui

y ' + p x y = 0

E disse que e x é solução. Pediu para determinarmos a solução geral dessa equação

Mas como resolver isso?

Precisamos relembrar que quando uma função é solução de uma equação diferencial, se colocarmos essa função (e sua derivada) na equação teremos uma verdade matemática!

Beleza? Tá, e o que fazer com isso?

Como temos a solução e a equação está faltando aquele p ( x ) , vamos poder determinar quem é ele e achar o que falta para termos uma solução geral!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa equação

y ' + p x y = 0

A solução

y = e x

E

y ' = e x

Agora é só substituir

e x + p x e x = 0

Para que isso seja verdade, precisamos que p x = - 1

Beleza?

Assim nossa equação é

y ' - y = 0

ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora é só resolver usando separação de variáveis e achar a solução geral

y ' = d y d x

d y d x = y

d y y = d x

Integrando

ln ⁡ y = x + c

E isolando y temos

y = e x + c = e x . e c

E e c ≡ C aí nossa solução geral fica

y = C e x

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

y = C e x

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0