A velocidade de um ponto material que se move ao longo de uma linha reta é diretamente proporcional ao tempo do movimento e inversamente proporcional à distância até a origem. Encontre a trajetória x ( t ) de um ponto se, no instante inicial do tempo, a distância até a origem for 1 , ou seja x ( 0 )   =   1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrar a trajetória x t de um ponto se, no instante inicial do tempo, a distância até a origem for 1 , ou seja x ( 0 )   =   1 .

Para isso, a questão nos diz que a velocidade de um ponto material que se move ao longo de uma linha reta é diretamente proporcional ao tempo do movimento e inversamente proporcional à distância até a origem.

Matematicamente, podemos entender isso da seguinte forma:

v t =   k   * t x t  

Onde v ( t ) é a velocidade no instante t , k é uma constante de proporcionalidade e x ( t ) é a distância do ponto até a origem no instante t .

A partir dessa equação diferencial, podemos encontrar a trajetória x ( t ) que queremos.

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Para encontrar a trajetória, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo. Vamos fazer isso:

∫ 1 v t d x t   =   ∫ k * t x t   d t  

Simplificando a integral, temos:

∫ 1 v t   d x ( t )   =   k   *   ∫ t x t   d t

Agora, podemos resolver essa integral.

Observe que a expressão à esquerda é uma integral do tipo logarítmica.

Aplicando a propriedade do logaritmo natural, podemos escrever:

l n x t   = k 2   *   t 2   +   C

Onde C é uma constante de integração.

Aplicando a exponencial em ambos os lados da equação, obtemos:

x ( t )   =   e k 2   *   t 2   +   C

Agora, podemos usar a condição inicial fornecida para determinar o valor de C .

Passo 3

No instante inicial do tempo, quando t   =   0 , a distância até a origem é igual a 1 , ou seja, x ( 0 )   =   1 .

Substituindo esses valores na equação, temos:

1   =   e k 2 *   0 2   +   C ∴

1   =   e C

Portanto, C   =   0 , pois o logaritmo natural de 1 é igual a 0 .

Assim, a trajetória x ( t ) do ponto material é dada por:

x ( t )   =   e k 2 *   t 2

Essa é a equação que descreve a trajetória do ponto em função do tempo, de acordo com as condições dadas.

A constante k determina a forma específica da trajetória e pode ser ajustada para diferentes casos.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x ( t )   =   e k 2 *   t 2

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