Nos problemas abaixo indique o intervalo que contém a condição inicial no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de 1 ° ordem são verdadeiras:

1 .   t 2 - 9 y ' + t y = 0 y 5 = 3

Passo 1

Fala aí gente, tudo na paz com vocês?

Então, nessa questão recebemos um problema de valor inicial (PVI) dado por:

  t 2 - 9 y ' + t y = 0 y 5 = 3

E, precisamos determinar o intervalo, que contenha a condição inicial y 5 = 3 , no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade é verdadeiro. Vocês lembram o que diz esse teorema?

Basicamente, ele fala que se temos a equação diferencial dada por:

d y d t = f ( y , t )

Se f ( y , t ) e ∂ f ∂ y são contínuas em um intervalo, então existe um intervalo I em que há uma única y ( t ) solução do PVI.

Portanto, nós vamos analisar em qual intervalo temos f e ∂ f / ∂ y contínuas, para a partir daí selecionarmos o intervalo I que contém a solução inicial.

Vem comigo que vai ficar bem claro 😉

Passo 2

Primeiro de tudo precisamos colocar a equação na mesma carinha do teorema. Temos:

t 2 - 9 y ' + t y = 0

t 2 - 9 y ' = - t y

Logo:

d y d t = - t y t 2 - 9

Assim, a nossa função f ( y , t ) é dada por:

f y , t = - t y t 2 - 9

Excelente! Aí agora que já encontramos a cara da nossa função f , vamos avaliar onde ela e a sua derivada parcial são contínuas.

Passo 3

Para f ser contínua não podemos ter nenhum ponto de descontinuidade na expressão:

f y , t = - t y t 2 - 9

Observando a expressão dessa função, vemos que o grande problema dela estar no denominador. Como o denominador não pode ser nulo, precisamos ter:

t 2 - 9 ≠ 0

∴ t ≠ ± 3

Portanto, o nosso intervalo que contém f contínua é dado por: R - { - 3 ,   3 } .

Vamos analisar a derivada parcial de f com relação a y !

Temos:

∂ f ∂ y =   - t t 2 - 9

Olha que legal, tivemos uma função bem parecida. Assim, novamente temos que o único ponto de restrição ocorre quando:

t = ± 3

Portanto, o intervalo em que ∂ f ∂ y é contínua também vale: R - { - 3,3 } .

Massa! Então, o intervalo que encontramos para f e ∂ f ∂ y contínuas é o mesmo:

R - { - 3,3 }

Agora podemos determinar o intervalo I . Como ele deve estar dentro de um intervalo em que f e sua derivada parcial são contínuas, mas também precisa incluir a condição inicial:

y 5 = 3

Teremos que:

I = ( 3 , + ∞ )

Prontinho! Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

I = 3 , + ∞

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