Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Um bastão cilíndrico isolante, de comprimento L muito longo e raio a (com L   > >   a ), foi carregado com uma densidade volumétrica de carga não uniforme ρ ( r )   =   ρ 0 r / a 2   , onde ρ 0 é uma constante. A carga total no bastão é q .

O bastão está envolvido por uma casca cilíndrica condutora concêntrica de mesma altura e de raios b e c , conforme mostra a Figura. A configuração se encontra em condições de equilíbrio eletrostático.

O campo elétrico gerado a uma distância R ( R > c ) do eixo de simetria comum é igual a E 0 e a carga total na superfície externa (raio c ) da casca condutora é Q .

(a) Expresse ρ 0 em função de q e do volume V do bastão.

(b) Calcule as densidades superficiais de carga σ b e σ c nas superfícies interna e externa da casca condutora, respectivamente. No cálculo de σ c , expresse Q em função de E 0 e da área S da superfície externa da casca condutora.

(c) Obtenha o valor (módulo) do campo elétrico em um ponto arbitrário do interior do bastão ( r < a ) e muito afastado de suas extremidades.

(d) Obtenha o valor (módulo) do campo elétrico em um ponto arbitrário situado entre o bastão e a superfície interna da casca condutora ( a < r < b ) e muito afastado de suas extremidades.

(e) Obtenha o valor (módulo) do campo elétrico em um ponto arbitrário do interior da casca condutora ( b < r < c ) e muito afastado de suas extremidades.

(f) Obtenha o valor (módulo) do campo elétrico em um ponto arbitrário do exterior da casca condutora ( c < r ) e muito afastado de suas extremidades.

Passo 1

Podemos relacionar a densidade volumétrica de carga do bastão com a sua carga total por

q = ∫ ρ d V

onde usaremos coordenadas cilíndricas e d V = r d r d θ d z

Assim a integral de volume ficará

∫ ρ d V = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 L d z ∫ 0 a ρ 0 r a 2 r d r

∫ ρ d V = 2 π L ρ 0 a 2 a 4 4 = π L ρ 0 a 2 2

O volume desse cilindro é V = π a 2 L

∫ ρ d V = V ρ 0 2 = q

ρ 0 = 2 q V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que, dentro do condutor, o campo elétrico deve ser nulo.

Se escolhermos uma superfície gaussiana cilíndrica cuja área lateral está dentro do condutor (com raio b < r < c ), temos que o fluxo do campo elétrico ao longo dessa superfície tem que ser nulo.

Pela lei de Gauss

∮ E → . d A → = q d e n t r o ϵ 0

vemos que a carga total dentro dessa superfície tem que ser nula.

Como já temos uma carga q no bastão interno, temos que ter uma carga - q distribuída na superfície interna. Dessa forma a densidade superficial de carga nessa interface será

σ b = - q A s u p e r f i c i e i n t e r n a

Como a área da superfície interna é

A s u p e r f i c i e i n t e r n a = 2 π b L

Então

σ b = - q 2 π b L

Passo 3

Como na casca externa temos uma carga Q , a densidade de carga na superfície externa é dada por

σ c = Q S

onde S é a área da superfície externa.

Só temos um problema aqui: o enunciado pediu para relacionarmos Q com o campo E 0 gerado a uma distância R !

Passo 4

Vamos de novo recorrer a lei de Gauss!

Agora vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica de raio R ( R > c ) e altura h bem menor que a altura L . A carga total dentro dessa superfície será

q d e n t r o = h L Q - q + q = h L Q

onde o segundo termo é a carga na casca interna e o terceiro é a carga no bastão. Como um anula o outro só sobra a carga na casca externa!

Agora temos que sabe o fluxo através dessa superfície. Como o campo é radial, só haverá fluxo através da área lateral desse cilindro. Assim como o campo a uma distância R é E 0

∮ E → . d A → = E 0 2 π R h

Agora usando a lei de Gauss

∮ E → . d A → = q d e n t r o ϵ 0

E 0 2 π R h = h Q ϵ 0 L

Q = E 0 2 π ϵ 0 R L

Para deixar tudo redondo, temos que lembrar que a área lateral da superfície é S = 2 π c L , de forma que

S = 2 π c L → 2 π L = S / c

Q = E 0 ϵ 0 S R c

Agora podemos voltar para densidade superficial de carga!

σ c = Q S

σ c = E 0 ϵ 0 R c

Passo 5

Agora temos que usar a lei de Gauss usando uma superfície cilíndrica de raio r < a e altura h ≪ L .

O fluxo do campo elétrico será

∮ E → . d A → = E r 2 π r h

A carga total dentro dessa superfície será

q d e n t r o = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 h d z ∫ 0 r ρ 0 r ' a 2 r ' d r '

q d e n t r o = 2 π h ρ 0 a 2 r 4 4

lembrando que ρ 0 = 2 q / V

q d e n t r o = 2 π h 2 q V a 2 r 4 4 = π h q r 4 V a 2

Agora aplicando a lei de Gauss

∮ E → . d A → = q d e n t r o ϵ 0

E r 2 π r h = π h q r 4 V a 2 ϵ 0

E r = q r 3 2 V a 2 ϵ 0

Passo 6

Agora temos que usar a lei de Gauss usando uma superfície cilíndrica de raio a < r < b e altura h ≪ L .

O fluxo do campo elétrico será

∮ E → . d A → = E r 2 π r h

A carga total dentro dessa superfície será

q d e n t r o = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 h d z ∫ 0 a ρ 0 r ' a 2 r ' d r '

q d e n t r o = 2 π h ρ 0 a 2 a 4 4 = π h ρ 0 a 2 2

(a diferença do passo anterior é que agora estamos contando a carga toda no bastão e não só em um cilindro de raio r < a )

lembrando que ρ 0 = 2 q / V

q d e n t r o = π h a 2 2 2 q V = π h a 2 q V

Agora aplicando a lei de Gauss

∮ E → . d A → = q d e n t r o ϵ 0

E r 2 π r h = π h a 2 q V ϵ 0

E r = a 2 q 2 r V ϵ 0

Passo 7

Essa parte aqui é a molezinha pra respirar! A região b < r < c é dentro do condutor, ou seja, o campo aqui é nulo!

E = 0

Passo 8

Agora vamo que vamo!!! Última região para calcular o campo elétrico!!!! \o/

Agora temos que usar a lei de Gauss usando uma superfície cilíndrica de raio r < c e altura h ≪ L .

O fluxo do campo elétrico será

∮ E → . d A → = E r 2 π r h

Agora para contar a carga total dentro dessa superfície vamos só considerar a carga da casca externa ( r = c ) . Isso por que a carga distribuída na casca interna está blindando a o campo vindo do bastão.

Como a densidade de carga na casca externa é σ c

q d e n t r o = σ c 2 π c h

Agora aplicando a lei de Gauss

∮ E → . d A → = q d e n t r o ϵ 0

E r 2 π r h = σ c 2 π c h ϵ 0

E = c r   σ c ϵ 0

Mas já calcularmos σ c σ c = E 0 ϵ 0 R c

Assim o campo fica

E = c r E 0 ϵ 0 R c 1 ϵ 0

E = R r E 0

Resposta

  1. ρ 0 = 2 q V
  2. σ b = - q 2 π b L
  3. σ c = E 0 ϵ 0 R c

  4. E r = q r 3 2 V a 2 ϵ 0
  5. E r = a 2 q 2 r V ϵ 0
  6. E = 0
  7. E = R r E 0

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