Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Lei de Gauss, Campo em Condutores

Uma camada esférica condutora neutra tem raio interno a e raio externo b . No centro da camada, na cavidade interna, há uma carga puntiforme q > 0 .

  1. Usando a lei de Gauss e propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático determine as densidades superficiais de carga σ a e σ b nas superfícies interna e externa da camada esférica.
  2. Calcule o vetor campo elétrico em todo o espaço.

Passo 1

  1. Usando a lei de Gauss e propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático determine as densidades superficiais de carga σ a e σ b nas superfícies interna e externa da camada esférica.
  2. Vamos lá! Sabemos que, no equilíbrio eletrostático, não existe movimento de cargas no interior do condutor e, mais importante do que isso... o campo elétrico no interior de um condutor é igual a zero. Se não sabia, agora sabe!

    Sabendo que o campo elétrico é nulo do interior de um condutor, basta aplicar a lei de Gauss.

    A lei de Gauss fala o seguinte!

    ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    Nesse caso, vamos escolher para gaussiana a esfera de raio r , sendo a < r < b . Mais ou menos com essa cara aqui:

    Passo 2

    Na gaussiana escolhida, a carga interna Q i n t é dada por:

    Q i n t = q + q a

    Onde q a é a carga na superfície interna da camada esférica.

    Substituindo na lei de Gauss.

    ∯ G   E → ∙ d A → = q + q a ϵ 0 = 0

    q a = - q

    A densidade superficial de carga na superfície interna é dada por:

    σ a = q a 4 π a 2 = - q 4 π a 2

    Passo 3

    A camada esférica é originalmente eletricamente neutra.

    Quando colocamos a carga q > 0 no interior dessa camada, essa carga induz as cargas no condutor.

    O resultado disso é que a carga q a = - q fica localizada na superfície interna da camada. Mas como a carga no condutor deve ser neutra, a carga na superfície externa é dada por:

    q a + q b = 0

    q b = q

    Portanto, a densidade superficial de carga na superfície externa é dada por:

    σ b = q b 4 π b 2 = q 4 π b 2

    Passo 4

  3. Calcule o vetor campo elétrico em todo o espaço.

Bom, analisando a situação, só temos três casos possíveis, então vamos analisar cada um deles a partir da lei d Gauss:

  1. 0 < r < a :
  2. ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    4 π r 2 E = q ϵ 0

    E = q 4 π r 2 ϵ 0

    E → = q 4 π r 2 ϵ 0   r ^

    Passo 5

  3. a < r < b :
  4. Nesse caso, a carga interna é nula, como já vimos antes. Logo:

    E → = 0

    Passo 6

  5. r > b :

Sabendo que a carga interna Q i n t = q , de acordo com a lei de Gauss:

4 π r 2 E = q ϵ 0

E = q 4 π r 2 ϵ 0

E → = q 4 π r 2 ϵ 0   r ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

  1. σ a = - q 4 π a 2

    σ b = q 4 π b 2

E → = q 4 π ϵ 0 r 2   r ^ ,     p a r a   0 < r < a 0 ,     p a r a   a < r < b q 4 π ϵ 0 r 2   r ^ ,     p a r a   r > b

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