(Capítulo 23 – Problemas Adicionais – Exercício 76) Um cilindro muito longo de raio R possui uma distribuição volumétrica de cargas uniforme. (a) Mostre que, a uma distância r E = ρ r 2 ϵ 0 , em que ρ é a densidade volumétrica de cargas. (b) Escreva uma expressão para E do lado de fora do cilindro.

Passo 1

Oii gente, tudo belezinha?

Ta pronto pra mais uma? Então bora!

Temos um cilindro longo de raio R com uma distribuição de cargas, para isto vamos fazer uma superfície gaussiana do tipo:

Considere uma superfície gaussiana na forma de um cilindro de raio r e comprimento L, coaxial com o cilindro carregado, representada na figura do item a pela linha tracejada. A carga envolvida pela superfície gaussiana é q = Q i n t = ρ V = ρ π r 2 L , na qual V = π r 2 L é o volume do cilindro.

Nesse exercício, queremos analisar o campo elétrico da situação, pra isso vamos usar a Lei de Gauss e a simetria, vamos lá!

Passo 2

(a) Como, por simetria, o campo elétrico é radial, o fluxo total através do cilindro gaussiano é

Φ = E A c i l i n d r o = E 2 π r L

E de acordo com a lei de Gauss,

ϕ = Q i n t ϵ 0

Igualando os dois fluxos:

2 π r L E = ρ π r 2 L ϵ 0

Isolando E :

E = ρ r 2 ϵ 0

Show!

Passo 3

(b) Considere uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r > R. Se o campo elétrico externo é

E e x t , o fluxo através da superfície gaussiana é Φ = 2 π r L E e x t .

A carga envolvida é a carga total em um segmento do cilindro carregado, de comprimento L, ou seja, q = π R 2 L ρ . Assim, de acordo com a lei de Gauss,

2 π ϵ 0 r L E e x t = ρ π R 2 L → E = ρ R 2 2 ϵ 0 r

Arrasamos demais!

Resposta

(a) E = ρ r 2 ϵ 0

(b) E = ρ R 2 2 ϵ 0 r

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